浅析蛛网模型在分析市场经济稳定条件中的应用

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[摘 要] 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形，建立蛛网模型，并借助差分方程将模型结果用公式表示，再对结果进行分析。最后可将该模型进行适当推广，以实现对市场经济的调控作用。

[关键词] 蛛网模型 市场经济 数学建模

在影响市场经济的因素中,我们将重点考虑商品的销售价格与生产产量这两个指标,它们是整个经营过程中的核心因素,要想搞好经营,取得良好的经济效益,必须把握好这两个因素的规律,作好计划。下文将通过建立数学模型研究市场经济的规律和市场趋势。

一、模型假设与建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数n表示时段；设第n个时段商品的数量为xn，价格为yn，n=1,2…。价格与产量紧密相关，可以用一个确定的关系来表现，即设

yn=f(xn) （1）

该函数反映消费者对这种商品的需求关系，我们称之为需求函数。商品数量越多，价格就越低，故f是单调递减函数；又假设下一时段的产量xn+1是决策者根据这期的价格决定的，即设

xn+1=h(yn)或yn=g(xn+1)（2）

该函数反映生产者的供应关系，称供应函数。商品的价格越高生产量越大，故h是单调增加函数，g也是单调增加的对应关系。

为表现出xn和yn的变化过程,我们可以借助已有的函数f和g,通过对应关系的几何表现把点列(xn,yn)和(xn+1,yn)在坐标系中描绘出来分析其中(xn,yn)=(xn,f(xn)),(xn+1,yn)=(xn+1,g(xn+1))。如图1,图2。

可见，如果点列P1(x1,y1),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2)连结，最后收敛于点P0，如图1所示，则xnx0,yny0并且P0就是两条曲线的交点，从而是稳定的。如果需求函数和供应函数由图2的曲线所示，市场经济将按照P1,P2,P3,P4,…的规律变化而远离P0，即P0是不稳定点，市场经济趋向不稳定。图1、2中，将点列P1(x1,y1),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2)连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。

一旦需求曲线和供应曲线确定下来,商品数量和价格是否趋向稳定,就完全有这两条曲线在平衡点P0附近的形状决定。分析图1和图2的不同之处会发现，在P0附近,图1的f比g平缓,图2的f比g陡峭。如果曲线y=f(x)和y=g(x)在交点P0处切线的斜率的绝对值记为:kj，kg,则,当kfkg时,P0点是不稳定的。由此可见,需求曲线越平,供应曲线越陡,越有利于经济稳定。

二、模型的差分方程分析

由（1）、（2）式可建立差分方程：

xn+1=h[f(xn)]（3）

yn+1=f[h(yn)]（4）

设P0(x0,y0)点满足：y0=f(x0)，x0=h(y0),在P0(x0,y0)点附近取函数f(x),h(x)的一阶近似：yn=y0-α(xn-x0),α＞0（5）

xn+1=x0+β(yn-y0),β＞0（6）

合并两式可得：xn+1=-αβxn(1-αβ)x0,n=1,2 （7）

（7）式是关于xn的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型，作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。其中，-α为f在P0点处的切线斜率；为g(x)在点P0处切线的斜率。

方程（7）递推可得：xn+1=(-αβ)x1+(1-(-αβ)n)x0,n=1,2(8)

由此可得,当n∞时,xnx0,即P0点稳定条件是αβ

P0点不稳定的条件是αβ＞1即：

这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。

三、模型解释

由（5）式可知，α表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度，由（6）式可知，β表示价格上涨1个单位时（下一时段）商品供应的增加量。α反应消费者对商品需求的敏感程度，β反映生产经营者对商品价格的敏感程度。当供应函数g在β固定时，α越小，需求曲线越平，表明清费者对商品需求的敏感程度越小，越利于经济稳定。反之，当α，β较大，表明清费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。

四、模型推广

假设商品生产数量xn+1不是根据前一时期的价格yn决定，而是根据前两个时期的价格yn,yn+1决定，为简化起见设根椐它们的平均值 (yn+yn+1)/2，于是供应函数式(2)表示为 （9）

(2)式的线性近似表达式(6)可表示为:（10）

对此模型仍用线性近似关系可得:首先求出平衡点,即解方程

,,则有,所以

再结合（5）式可得：

所以2xn+1+αβxn-1+αβxn-1=(1+αβ)x0

即2xn+2+αβxn+1+αβxn=(1+αβ)x0（11）

特征方程为2λ2+αβλ+αβ＝0,特征根为

所以αβ＞8时，，此时解不稳定。αβ＞8时，，则αβ＞2时，。从而解是稳定的。

进一步来看,对这个模型还可以进行进一步的分析:考虑下一年的量时,还可以近k年的价格来决定,例如:设，另外还可以考虑引入投资额，并建立有关的离散方程关系。

参考文献：

[1]姜启源:数学模型.高等教育出版社，2003

[2]梁国业:数学建模.北京冶金工业出版社，2004