揭开现象与本质间的那层纱幔

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二次函数是初中数学的重要内容，也是中考热点、难点.本文以今年江苏各地中考试题为例，谈谈中考中二次函数的出现形式以及如何透过现象揭示本质，从而游刃有余地解决这类问题.

例1 （2013·江苏泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点.

（1） 求证：ADP∽ABQ；

（2） 若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3） 略.

【评析】本题虽然是一道相似形问题，但第（2）问的求最小值实质是求二次函数的最值.第（1）问中，由对应两角相等，易证两个三角形相似. 第（2）问中，由BM2=y，容易联想到直角三角形与勾股定理，过点M作MNQC于点N，构造直角三角形BMN. 由最值容易联想到二次函数，利用勾股定理求出y与x的函数关系式（二次函数），然后利用二次函数的性质求出最小值.一般二次函数在顶点处取到最值，但在实际应用中要注意自变量取值范围的限定.

【答案】 （1） 略.

（2） 解：ADP∽ABQ，■=■，QB=2x.

过点M作MNQC于点N，

MNQC，CDQC，即MN∥CD，又点M为PQ中点，

点N为QC中点，MN为中位线，

MN=■PC=10-■x，BN=QB-QN=QB-■QC=2x-（x+5）=x-5.

在RtBMN中：y=BM2=MN2+BN2=■x2-20x+125=■（x-8）2+45（0

当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为■=3■.

例2 （2013·江苏南京） 已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m为常数，且a≠0）.

（1） 求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2） 设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.

①当ABC的面积等于1时，求a的值；

②当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值.

【评析】本题仍是对二次函数性质的考查. 第（1）问中，由根的判别式Δ>0，易知该函数的图像与x轴总有两个公共点.第（2）问①中，配成顶点式后可得C点坐标为■，-■；由方程a（x-m）2-a（x-m）=0，解得x1=m，x2=m+1（此处，函数问题转化为方程问题），可得AB=1. 把AB作为ABC的底边，就可求得a的值. ②中，把AB作为ABC和ABD底边，在求得D点坐标为（0，am2+am）后，就可求得m的值.

【答案】（1） 证明：y=a（x-m）2-a（x-m）=ax2-（2am+a）x+am2+am.

当a≠0时，[-（2am+a）]2-4a（am2+am）=a2>0；

（2） 解：①y=a（x-m）2-a（x-m）=x-■2-■.

点C的坐标为■，-■.

当y=0时，a（x-m）2-a（x-m）=0，解得x1=m，x2=m+1，AB=1.

■×1×-■=1，a=-8或a=8.

点D的坐标为（0，am2+am）.

又■×1×-■=■×1×am2+am.

m=-■或m=■或m=■.

例4 （2013·江苏苏州）如图，已知抛物线y=■x2+bx+c（b、c是常数，且c

（1） b=______，点B的横坐标为______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2） 连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=■x2+bx+c交于点E. 点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3） 在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S.

①求S的取值范围；

②若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有______个.

【评析】本题是一道二次函数的综合题，涉及二次函数、一次函数、一元二次方程（含字母）、二元二次方程组等.

【答案】第（1）问中b的值，可由点A（-1，0）代入二次函数解析式中求得b=■+c，B的横坐标可由方程■x2+c+■x+c=0解得x=-2c（此处利用因式分解法求解）.

第（2）问中抛物线的解析式关键是要求出c的值.

BC：y=■x+c. AE∥BC，

AE：y=■x+m.

A（-1，0），y=■x+■.

又y=■x2+c+■x+c，

E（1-2c，1-c）.

CD：y=-■x+c.

又C，D，E三点在同一直线上.

1-c=-■（1-2c）+c，c=-2.

y=■x2-■x-2.

第（3）问中①分P点在C点左边和右边两种情况：

当-1