玩折纸 学数学

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相信许多同学都见过千纸鹤，一些同学还亲手折过千纸鹤.作为一个有趣的折纸游戏，折叠千纸鹤既是一门艺术，也是一个培养同学们的动手能力和空间想象能力的良好题材.同学们对下面的（1）图一定很熟悉吧！再仔细观察一下下面的（2）图，你能发现这个图形上的虚线是怎么回事吗?

其实，（2）图上的虚线就是（1）图的折痕.

下面就请同学们一起来玩一玩有趣的折纸游戏.

实验：请同学们准备一张正方形的纸片，并按下列图形所示的方法和步骤将正方形纸片对折三次，然后沿D图中的虚线剪下，得到E图.

问题：将纸片折叠成如E图所示的形状之后，不要急于将它展开，先仔细想一想，E图展开之后是什么形状?

思考：折叠与展开是互逆的两个过程，展开的过程其实就是以折叠线为对称轴作轴对称图形的过程.

解析：如下图所示，先将图1以AB为对称轴画出四边形ABCD的轴对称图形ABEF，得到图2；再以AF为对称轴画出图2的轴对称图形，得到图3；然后以GAD为对称轴画出图3的轴对称图形，得到图4.E图展开后的形状就应该与图4的形状相同.

检验：实践是检验真理的唯一标准.现在可以把折叠后再剪去一部分的纸片展开了，展开后，与图4比较看一看!

说明：有关轴对称的知识，同学们在人教版八年级上册第14章中已经学习过了，对于如何作轴对称图形，相信同学们已经很熟悉了，在这里我们就省略了作轴对称图形的具体步骤.其实遇到类似于上面的具体问题时，如果没作特别要求，同学们也不必用尺规画得那么标准，尤其是在考试的时候，只要动笔画出草图就可以一目了然，从而解答出问题.

这是一个很简单的实验，所涉及的数学问题也很简单.有条件的同学不妨运用一些数学软件在电脑上演示上述过

程，以加深体会.事实上，折纸问题往往是以这种简单实验和简单问题为基础的，正方形纸片也常常被选为折纸的初始单元，因为正方形纸片与其它形状纸片相比有其独到的优点：一是正方形与矩形或其它四边形相比，有四条对称轴；二是与圆或其它有更多对称轴的正多边形相比，它又拥有其它图形所不具备的直角；三是用正方形纸片折纸，更能凸显一些数学概念，比如轴对称、中心对称、相似、全等、迭代等.熟悉了上面这个实验，就请同学们一起来思考下面这个折纸问题.

例用一张长方形的纸片折出30O的角和60O的角.

解析：如果叫同学们拿一张长方形的纸片折出90O的角和45O的角，相信同学们不假思索马上就能折出来.但如果要求同学们折出30O的角和60O的角呢?同学们能不能折出来呢?下面我们一起来试试.

如下图所示，先将长方形纸片对折(如图5)，得到折痕；再将纸片右边的对折(如图6)，得到折痕；然后再如图7所示，以AB为轴将左上角的顶点折叠到右边那条折痕上，使其交于点C.于是产生了三个的角，如图8所示，即有∠1=∠2=∠3=60O.这样，60O的角就折出来了.接下来我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合于C，则此时右边的60O角∠3就分成了两个30O的角，即∠4和∠5，如图9所示.另外，我们也可以直接将右上角的顶点折叠到右边的折痕上形成的角，如图10所示.

寓学于乐，在玩中学习，培养感性认识和空间想象能力，是我们“玩”折纸的目的所在.数学知识寓于折纸的游戏活动之中，通过玩折纸游戏，在观察、比较和分析折纸活动时出现的种种现象的过程中，同学们能够感受到数学的无穷魅力，产生学习数学的兴趣.不玩不知道，纸片真奇妙!你还想体验一下玩折纸游戏的乐趣吗?试着做下面的两个小练习吧.

练习

1.小强用一张正方形的纸，沿下面图（1）中虚线所示的对角线对折一次得到图（2），再沿图（2）中的虚线对折一次得到图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去上面的角.那么再打开时，纸片的形状是( ).

2.找一张长方形的纸片，然后将它折成三等份.

参考答案

1.提示：同前面的实验，折叠与展开是互逆的两个过程，展开的过程其实就是以折叠线为对称轴作轴对称图形的过程.如下列图示步骤所示，先将图11以AB为对称轴画出它的轴对称图形，得到图12；再以图12中的C、D所在的直线为对称轴画出图12的轴对称图形，从而得到图13.图13的形状就是纸片展开后的形状，所以答案应该选C.

2.提示：如下图，先将整张纸片沿中间的EF对折，再沿对角线BD折叠，然后沿小矩形CDEF的对角线CE折叠，得到BD与CE的交点O，最后，过交点O折叠纸片，使CH重叠在BH上，DG重叠在AG上，则CH就为BC的，DG为AD的.同理可折出左边的，或者将纸片左边的即ABHG对折，使A与G重合，B与H重合，这样就可以得到另外两个张纸片了.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文.