考虑投资收益和干扰因素的双二项风险模型
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摘要：在常利率下考虑投资收益和干扰因素的双二项风险模型，对单位时间内收到的保单数和发生的理赔次数都服从二项分布的模型进行研究，讨论模型的调节系数，最终得到保险公司的破产概率表达式和Lundberg不等式，对于在利率不变的情况下研究保险公司的破产概率提供一定的理论依据.
关键词：双二项；破产概率；调节系数；鞅论；布朗运动
中图分类号：F83
文献标识码：A
文章编号：1672―3198（2014）21―0117―02
0引言
破产概率在保险公司众多数据中，可视为评估风险大小的重要参数，因此学术界对其的研究也在持续升温和发展.众多学者为了建立更贴合实际情况的风险模型对经典破产模型进行更深入的研究，对其进行大量的拓广。在保险公司的实际营运过程中，保险公司的经营者为降低破产的风险，往往会将初始资本金和单位时间内收到的保费进行整合用来作为其他投资的本金.本文在固定利率下，考虑随机因素的干扰和投资对破产问题的影响并且假设模型中保单数和索赔次数都是服从二项分布的，得到此模型的调节系数和破产概率。
1模型的建立
定义1：设u>0，c>0在给定的完备的概率空间（Ω，F，P），定义保险公司在时刻n的盈余为：
U（n）=（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）
其中，u表示保险公司的初始资本金，c表示每张保单收取的保费，u>0，c>0，u，c为常数，i表示固定的常数利率，j表示单位时间区间内的投资收益率，M（n）表示在n>0时间内收到的保单数，N（n）表示在（0，n]时间内产生的总索赔次数，Xk表示第k次的索赔额，随机因素的干扰为B（n）。
结合保险公司的实际经营情况，对上述模型做以下假设：
（1）X={Xk，k≥1}的均值为μ，方差为δ，是取值在（0，+∞）上的独立同分布的随机变量序列；
（2）二项分布M={M（n），n≥0}是服从参数（n，p1）的；
（3）二项分布N={N（n），n≥0}是服从参数（n，p2）的；
（4）标准布朗运动B={B（n），n≥0}，表示保险公司各种不确定因素，例如保险公司不稳定的收入及各种随时出现的付款，σ>0且为常数；
（5）假设X，M，N，B相互独立；
（6）F是综合考虑各项因素用于投资的金额，例如根据初始资本金的大小、单位时间内收取的保费以及预测将要产生的索赔额的大小而设定的。
记S（n）=cM（n）（1+i）+Fnj-∑N（n）k=1Xk+σB（n），则U（n）=u+（u-F）i+S（n）。
为保证保险公司能够正常经营不至于破产发生，结合模型，如果我们假定单位时间内平均收益大于平均理赔，这在理论上我们可以认为保险公司破产不会发生.在考虑投资收益和固定利率的情况下，如果盈余为负那么我们理论上说破产产生了，因此我们通常假设E[S（n）]>0.
定义破产时刻：T=inf{n：U（n）
2模型的相关性质
性质1盈余过程{U（n），n≥0}具有独立平稳增量性。
证明：令0≤n0≤n1≤…≤nk≤…，则
U（nm）-U（nm-1）=[（u+cM（nm））（1+i）+F（nmj-i）-∑N（nm）k=1Xk+σB（nm）]-[（u+cM（nm-1））（1+i）+F（nm-1j-i）-∑N（nm-1）k=1Xk-1+σB（nm-1）]=（M（nm）-M（nm-1））（1+i）+F（nm-nm-1）j-（∑N（nm）k=1Xk-∑N（nm-1）k=1Xk）+σ（B（nm）-B（nm-1））
由于
M（n2）-M（n1），M（n3）-M（n2），…，M（nk）-M（nk-1）
B（n2）-B（n1），B（n3）-B（n2），…，B（nk）-B（nk-1）
XN（n2）-XN（n1），XN（n3）-XN（n2），…，XN（nk）-XN（nk-1）
都是相互独立的，所以U（nm）-U（nm-1）是相互独立的，因此{U（n），n≥0}是独立增量过程。所以得到{U（n），n≥0}具有平稳独立增量性。
性质2E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2
证明：E[U（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）]+E[F（nj-i）]-E[∑N（n）k=1Xk]+E[σB（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2
3主要结果
定理3.1对于保险公司营运盈余总额{S（n），n≥0}，存在一个函数g（r），使得
E[exp（-rS（n））]=eng（r），并且方程g（r）=0内存在唯一正解R，称为调节系数.
证明：
E[e-rS（n）]=E{exp[-r（cM（n）（1+i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）+Fnj]}=E{exp[-rc（1+i）M（n）]}・E[exp（-rFnj）]・E[exp（r∑N（n）k=1Xk）]・E[exp（-rσB（n））]=（p1e-rc（1+i）+q1）n・exp（-rFnj）・（p2MX（r）+q2）n・exp（12r2σ2n）=exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}
记
g（r）=nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n
则E[e-rS（n）]=eng（r），由于g（0）=0，
g′（r）=n-c（1+i）p1e-rc（1+i）p1e-rc（1+i）+q1+np2E（XerX）p2MX（r）+q2-Ftj+rσ2n，
g″（r）=n[c（1+i）]2p1q1e-rc（1+i）（p1e-rc（1+i）+q1）2+
np2E（X2erX）（p2MX（r）+q2）-p22E2（XerX）（p2MX（r）+q2）2+σ2n
并且根据施瓦兹不等式有：
p2E（X2erX）p2MX（r）≥p22E2（XerX）
曲线r>0是下凸的，g（r）具有唯一的极小点，所以方程g（r）=0有两个解，其中r=0为平凡解.又g′（r）
定理3.2对于考虑投资收益和带干扰项的二项分布风险模型，{U（n），n≥0}最终破产概率为Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T
证明：对于任意的n≥1和r>0有
E[e-rU（n）]=E[e-rU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-rU（n）|T>n]Pr（T>n）（1）
由U（n）=u+（u-F）i+S（n），故
E[e-rU（n）]=E[e-ru-r（u-F）i-rS（n）]=E[e-ru-r（u-F）i]・E[e-rS（n）]=e-ru-r（u-F）i・exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}=exp{-ru-r（u-F）i+nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}
记（1）式中等号右端第一项为I1，则，
U（n）=U（T）+[U（n）-U（T）]=U（T）+[S（n）-S（T）]，则对于给定的T，[S（n）-S（T）]与U（T）独立，从而
I1=E[e-rU（n）T≤n]Pr（T≤n）=E[e-rU（T）+S（n）-S（T）T≤n]Pr（T≤n）（2）
=E[e-rU（T）・e-r（S（n）-S（T））T≤n]Pr（T≤n）=E{e-rU（T）・exp[（nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n）（n-T）]T≤n}Pr（T≤n）令r=R，则（1）、（2）可化简为
e-Ru=E[e-RU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-RU（n）|T>n]Pr（T>n）
（3）
当n∞时，（3）式右端第一项变为E[e-RU（n）T
因为E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2
不妨设Var（X）有限，则
Var[U（n）]=c2（1+i）2np1q1+np2（q2μ2+δ2）+σ2n，记
α=c（1+i）p1-μp2，β2=c2（1+i）2p1q1+p2（q2μ2+δ2）+σ2，其中β>0，则
Var[U（n）]=β2n，由于α>0，考虑Λ=u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23，只要n充分大，Λ>0，并且当n∞时，limn∞{u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23}=∞。
将（3）式中第二项拆成两项，有
E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）=E[e-RU（n）T≥n，0≤U（n）≤Λ]Pr（T≥n，0≤U（n）≤Λ）+E[e-RU（n）T≥n，U（n）>Λ]Pr（T≥n，U（n）>Λ）（4）
E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）≤Pr（0≤Un≤Λ）+e-RΛ，由切比雪夫不等式得
Pr（0≤U（n）≤Λ）=Pr{0≤U（n）≤E[U（n）-βn23]}≤Pr{U（n）-E[U（n）]≥βn23}≤Var[U（n）]（βn23）2=n_13
所以当n∞时，n-130，因此I20，所以在（3）式中令n∞，有Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T
再根据U（T）1，从而u≥0，有Ψ（u）≤e-R[u+（u-F）i]。
定理得证。
参考文献
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