发掘对称性 快速巧求解

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数学中存在着大量对称的形与式,不过有些问题中的对称性是比较隐蔽的,在求解相关的问题时,如果能够注意寻觅和发掘或通过变形构造出对称关系,则可以收到事半功倍的效果,达到快速简捷求解的目的.下面举例说明,相信会对同学们有所启迪.

例1 设A、B两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的两个相交圆的交点,并且点A的坐标为(-4, 5),求点B的坐标.

解析 乍一看本题似乎缺少条件,无法求解.如果我们仔细分析就会发现题中隐含的对称性,这样问题便可迅速获解.

如图1,设B点的坐标为(x, y),则由题设可知AB垂直于直线3x-2y+5=0.又点A的坐标为(-4, 5),所以直线AB的方程为y-5=-23(x+4).

解方程组

y-5=-23(x+4),

3x-2y+5=0. 得直线AB与直线3x-2y+5=0的交点坐标为(-113, 3113).

由对称性知,(-113, 3113)为AB的中点,于是可得B点的坐标为(5013, -313).

例2 四边形ABCD面积为S,

求证：S≤AB•CD+BC•AD2.

解析 三角形面积不大于其任意两边之积的一半,观察不等式的右边可想到,如果能够把AB、AD(或BC、CD)调换位置,则结论很容易证明.

如图2,以BD的中垂线为轴作BCD的对称图形BC1D,则有：

AB•CD+BC•AD2=AB•BC1+AD•DC12≥SABC1+SADC1=SABC1D=SABCD=S.

例3 设有一直角∠QOP,试在OP边上求一点A,在OQ边上求一点B,在直角内求一点C,使BC+CA等于定长L,且使四边形ACBO的面积最大.

简析 如图3,显然难于直接确定点C的位置,若利用对称性,把四边形ACBO补成一个八边形,其周长为4L,是定值.由对称性知,要使四边形ACBO的面积最大,必须使此八边形面积最大.

由命题“周长一定的凸n边形中,以正n边形的面积为最大”,可知当八边形为正八边形时,四边形ACBO的面积最大.此时点C为正八边形的一个顶点,正八边形的边长为L2,易得正八边形外接圆半径R=4+224L,于是据此可确定A、C、B的位置.

例4 方程组 x+y+z=6, ①

xy+xz+yz=11,②

xyz=6. ③

解的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

解析 显然方程组关于x、y、z对称,其结果也应关于x、y、z对称.

若方程组只有一组解.则必有x=y=z,此时由①有x=y=z =2,代入②、③均不成立,故选项A错误.

若方程组有两组解,则与方程组关于x、y、z具有对称性矛盾,故选项B错误.

若方程组有三组解,不妨设x=y ≠ z,此时由①可得z=6-2x,代入②得3x2-12x+13=0.

但由于Δ=-12

综上所述知,本题应选D.

例5 对a∈R,方程x4+ax3+3x2+ax+1=0的一切根都是虚数,且它们的模皆不为1,求实数a.

解析 由于方程的系数关于中间项对称相等,进一步观察发现,利用x与1x的对称性构造新的对称式,同时可使方程变为一元二次型的方程.

因为x∈R,所以x≠0,方程两边同除以x2,得x2+ax+3+ax+1x2=0,即

(x+1x)2+a(x+1x)+1=0

由于|x| ≠1,所以x+1xR,于是应有Δ=a2 4

点评 从上述解答过程可以看出,整个过程处处体现了一种对称之美.

例6 已知四面体的一个顶点A,从其它顶点与棱中点取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有( )种.

A. 30 B. 33 C. 46 D. 39

解析 如图4,显然3个侧面内满足题设条件的取法数相同,即具有对称性.在面ABC内,A以外的任意5点取3点均与A在同一平面内,有C35种取法.又AC、BD、AB、CD、AD与BC的中点中的任意4点均共面,故共有3C35+3×1=33种.故应选B.

例7 A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的站法有( )种.

A. 24 B. 60 C. 90 D. 120

解析 因为A站在B右边和B站在A右边的情况的机会完全相等,由这种对称原理知,所求的排列数为12A55=60种,故应选B.