构造不等式求解解析几何中范围与最值问题
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解析几何是代数与几何的完美结合，其中的问题可以涉及函数、方程、不等式、平面几何、三角、数列、向量等知识，形成了以轨迹、范围、最值、对称、参系数等为核心的多类问题，因而成为高考数学能力要求最高的内容之一.其中的范围与最值问题一直都是高考经久不衰的重点、热点与难点，这类问题涉及面广、解法灵活、难度较大.本文结合近几年各地高考试题，就如何通过构造不等式解决这类问题，归纳了常见的思维和方法.
一、直接“翻译”构造不等式
若题设条件给出明确的不等关系,可直接将这些不等关系 “翻译”、转化为曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的关系，建立不等式（组），通过求解不等式（组）解决问题.
例1.（2008湖南高考题）若双曲线■-■=1（a＞0,b＞0）上横坐标为■的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(1,5) D.(5,+∞)
分析与解：运用焦半径得|PF|=ex-a=■c-a，将已知转化为不等式■c-a>■a+■，化简即3c2-5ac-2a2>0，两边同除a2得3e2-5e-2>0，又e>1，故e>2，选B.
例2.(2010年湖北高考题)已知一条曲线C在y轴右边，C上任意一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有■・■
分析与解：
(Ⅰ)用直接法求得C的方程y2=4x（x>0）.
(Ⅱ)根据题意，可直接利用向量数量积公式将
■・■
设过点M的直线的l方程为x=ty+m，且与曲线C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=ty+my2=4x得y2-4ty-4m=0，=16(t2+m)>0，
于是y1+y2=4ty1y2=-4m① 又■=(x1-1,y1)，■=(x2-1,y2)，
■・■
■・■+y1y2-(■+■)+1
由①式，不等式③等价于m2-6m+1
由此可知，存在满足题意的m，且m的取值范围为3-2■
二、根据几何性质与特征构造不等式
运用图形（象）明显（或挖掘隐性）的几何性质与特征，转化为与之等价的代数不等式，通过解不等式（组）求出相应的范围与最值问题.
例3.（2008江西高考题）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足■・■=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，■]
C．（0，■） D．（■，1）
分析与解：题设条件没有明显的不等关系，但由■・■=0的几何意义知：满足题意的点M在以线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2上，故问题转化为圆x2+y2=c2全在椭圆内部，等价于c
例4.（2010浙江高考题）已知m＞1，直线l:x-my-■=0，椭圆C:■+y2=1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
分析与解：（Ⅰ）求得m=■，直线l的方程为x-■y-1=0.
（Ⅱ）若原点O在以线段GH为直径的圆内,则90°
且有y1+y2=-■，y1y2=■-■.由于F1(-c,0)，F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由■=2■，■=2■，可知G（■，■），h（■，■），由■・■0
而x1x2+y1y2=(my1+■)(my2+■)+y1y2=(m2+1)(■-■)
所以■-■4 又因为m>1且m2
说明：点P在以线段AB为直径的圆内、圆上、圆外可以分别转化为
■・■>0、■・■=0、■・■
三、根据曲线中坐标或有关量自身的范围构造不等式
圆、椭圆、双曲线及抛物线中变量都有自身的范围，如椭圆■+■=1(a>b>0)中，|x|?燮a，|y|?燮b；0
例5.（2010四川高考题）椭圆■+■=1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．
在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
（A）（0，■]
（B）（0，■]
（C）[■-1，1）
（D）[■，1）
分析与解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即椭圆上存在点P满足|FP|=
|FA|，又焦半径a-c≤|PF|≤a+c，且|FA|＝■-c=■，故有a-c≤■≤a+c，等价于
ac-c2?燮a2-c2a2-c2?燮ac+c2=>■?燮1■?燮-1或■?叟■
又e∈(0,1)故e∈■，1 ，选D.
例6.（2011湖北高考题改编）已知曲线为C1：x2+y2=a2，C2：■-■=1，其中a>0，m∈(-1,0)∪(0,+∞)，设F1、F2是C2的两个焦点.试问：在C1上是否存在点N，使得F1NF2的面积S=|m|a2, 若存在，求m的范围；若不存在，请说明理由.
分析与解：当-1
当m>0时，曲线C的方程为■-■=1，C是焦点在x轴上的双曲线.
不论-1
|m|a2，
即有|y0|=■，又C1中有0
于是有0
故当m∈■，0∪0，■时，在C1上存在满足条件的点N；
当m∈（-1,■）∪(■，+∞)时，在C1上不存在满足条件的点N.
四、根据直、曲线间的位置关系构造不等式
一般来说，处理直线与圆的位置关系，常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式；处理其它的直、曲线间位置关系常联立它们的方程组，通过消元后所得的二次方程判别式的符号构造不等式，若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等.
例7.（2009广东高考题）已知曲线C：y=x2与直线l：x-y+2=0交于两点A(xA，yA)和B(xB,yB)，且xA
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+■=0与D有公共点，试求a的最小值．
分析与解：（1）利用代入法求得M的轨迹方程为y=x2-x+■（-■
（2）曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+■=0，
即圆E：(x-a)2+(y-2)2=■，其圆心坐标为E(a,2)，半径r=■
由图可知，
当0≤a≤■时，
曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+■=0与点D有公共点；
当a
例8.（2009全国卷高考题）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x-4）2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.
（Ⅰ）求r的取值范围.
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.
分析与解：（I）将抛物线E：y2=x与圆M：（x-4）2+y2=r2(r>0)的方程联立，消去y2，整理得x2-7x+16-r2=0．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线E：y2=x与圆M：（x-4）2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根
即49-4(16-r2)>0x1+x2=7>0x1・x2=16-r2>0求得r■-4
即有r∈（■，4）.
（II）考纲中指出不考查“求两个圆锥曲线的交点的坐标”.因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为A（x1，■）、B（x1，-■）、C（x2，-■）、D（x2，■）.
则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16-r2，r∈（■，4）
则S=■・2・|x2-x1|（■+■）=|x2-x1|（■+■）
S2=[(x1+x2)2-4x1x2]（x1+x2+2■）
=(7+2■)（4r2-15）
令■=t，则S2=（7+2t）2（7-2t），下面求S2的最大值.
S2=（7+2t）2（7-2t）=■（7+2t）（7+2t）（14-4t）?燮
■（■）3=■・（■）3
当且仅当7+2t=14-4t，即t=■时取最大值.经检验此时r∈（■，4）满足题意，故当且仅当t=■时，
f(t)有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（■，0）.
五、根据不等式表示的区域构造不等式
1.根据圆锥曲线的内（外）域的充要条件构造不等式
如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则
点P（x0，y0），在椭圆■+■=1内（外）域的充要条件是■+■1）；
点P（x0，y0）在双曲线■-■=1内（外）域的充要条件是■-■>1（
点P（x0，y0）在抛物线y2=2px(p>0)的内（外）域的充要条件是y■■2px0）.
以这些充要条件为背景的有关范围与最值问题，利用上述结论构造不等式可获解.
例9.设椭圆■+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c，0)（c>0），且椭圆上存在点M，使■・■=0.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m=2，斜率为k(k≠0)的直线l的与椭圆交于不同的两点A，B，又知点N（0，-1）,点Q满足■=■，且■・■，求斜率k(k≠0)的取值范围；
分析与解：（1）由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=
2■，由■・■=0可得■■，即有
|MF1|2+|MF2|2=4m，注意到由重要不等式有
|MF1|2+|MF2|2?叟■，
于是有4m?叟2(m+1)，解得m?叟1
（2）椭圆方程为■+y2=1,由■=■知点Q是AB的中点
设A（x1，y1），B（x2，y2），中点Q的坐标为（x，y）
则■+y■■=1■+y■■=1，
两式相减得■+（y1+y2）（y1-y2）=0
■=-■
Q的轨迹为直线y=-■x ① 夹在椭圆内的部分
又由■・■=0可知NQAB，所以直线NQ的斜率为-■，方程为y=-■x-1 ②
①②两式联立可求得点Q的坐标为（-■，■）
点Q在椭圆内 ■+（■）2
解得k2
2.根据二元一次不等式表示的区域构造不等式
例10.（2009湖南高考题）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围.
解:（Ⅰ）求得椭圆C的方程为■+■=1 .
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x=-4，所以点P的坐标（-4，0），显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y=k（x+4）.
如图，设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），
由y=k（x+4），■+■=1得（1+2k2）x2+16k2x+32k2-8=0.
……①
由=（16k2）2-4（1+2k2）（32k2-8）>0解得-■
因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=-■，于是
x0=■=-■，y0=k(x0+4)=■.
因为x0=-■≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=-x-2，所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
y0≤x0+2，y0≤x0-2.即■≥■+2，■≥■-2，
亦即2k2+2k-1≤0，2k2-2k-1≤0.
解得-■≤k≤■，此时②也成立. 故直线l斜率的取值范围是[-■，■]
六、以重要不等式为背景构造不等式
在例9题解答中，巧妙地利用代数基本不等式转化，使问题的解决简洁明快.一般地，如果已知两个（或三个）量的和（积）一定，求与之相关的积（和）的最值问题，可考虑运用平均值不等式构造相应的不等式，直接求出结果（如例13），或根据两个（或三个）量的和、积各自与待求量的关系，根据平均值不等式转化为解含待求量不等式.
例11.（2009全国高考题）已知AC、BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，■),则四边形ABCD的面积的最大值为
分析与解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则注意到d■■+d■■=OM■=3（定值）
应用平均值不等式得四边形ABCD的面积S=
■|AB|・|CD|=2■?荞8-(d■■+d■■)=5
例12.过定点A(3,0)作直线l，使得曲线C：y=x2的所有弦都不能被直线l垂直平分，求l斜率的取值范围.
分析与解：设直线l的方程为y=k(x-3)，被它垂直平分的弦的两端点为B（t1，t■■），C（t2，t■■），则BC中点P（■，■）（t1≠t2），kBC=t1+t2.当线段BC被l垂直平分时，有t1+t2=-■■=k（■-3）?圯t1・t2=■（■+6k+1），注意到t1・t2
■（■+6k+1）
符合题意的直线斜率k≥-■.
说明：本题的求解利用补集法，即先求曲线上存在弦能被l垂直平分时直线l的斜率，再取其补集得满足题设的斜率.
例13.（2011山东高考题）已知动直线l与椭圆C：■+■=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且OPQ的面积SOPQ=■，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：x■■+x■■和y■■+y■■均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|・|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得SODE=
SODG=SOEG=■？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由．
分析与解:（Ⅰ）根据面积公式及联立方程组后运用韦达定理求得x■■+x■■=3，y■■+y■■=2
（Ⅱ）本题可用目标函数法，将|OM|・|PQ|表示为直线l的斜率与截距的函数，难度较大.若注意到由（Ⅰ）的结论:x■■+x■■=3，y■■+y■■=2可推得为4|OM|2+|PQ|2常数，考虑运用重要不等式进行转化.
4|OM|2+|PQ|2=（x1+x2）2+（y1+y2）2+（x1-x2）2+(y1-y2)2=2[（x■■+x■■）+(y■■+y■■)]=10
所以2|OM|・|PQ|?燮■=■=5
即|OM|・|PQ|?燮■，当且仅当2|OM|=|PQ|=■时等号成立.因此|OM|・|PQ|的最大值为■.
（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得SODE=
SODG=SOEG=■
证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2,y2）满足
SODE=SODG=SOEG=■
由（1）得u2+x■■=3，u2+x■■=3，x■■+x■■=3；v2+y■■=2，v2+y■■=2,y■■+y■■=2
解得 横坐标u2=x■■=x■■=■；纵坐标v2=y■■=y■■=1，因此D，E，G只能在（±■，±1）这四点中选取三个不同点而这三点的两两连线中必有一条过原点与
SODE=SODG=SOEG=■矛盾，椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.