浅析一元二次方程习题中的隐含条件

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许多一元二次方程的习题或考题中，常常会设置一些隐含条件作为考查点，如果同学们对知识理解不透彻或者分析不全面，就极易误入题目设置的“陷阱”，导致错解.下面就一元二次方程习题中的隐含条件进行归类分析.

1.隐含一元一次方程

例1：方程（1-k）x+（k+2）x+1=0有实根，则k的取值范围是（ ）

A.k＜-8或k＞0且k≠1

B.k≤-8或k≥0

C.k＜-8或k＞0

D.k≤-8或k≥0且k≠1

错解：方程有实根，≥0，

则（k+2）-4（1-k）×1≥0，

得k≤-8或k≥0.

此时，学生会考虑方程为一元二次方程，即（1-k）≠0的条件，得k≠1的条件，故而错选D.

错解分析：此方程在形式上是一元二次方程，解题时也是根据一元二次方程的判别式，所以学生很容易忽视有实根，此方程也可能是一元一次方程这一隐含条件，如果考虑到这一条件，则只需k≤-8或k≥0，不必要求k≠1，正确答案为B.

2.隐含二次项系数不为0

例2：若方程kx+（k-1）x+1-k=0有两个不相等实根，则k为（ ）

A.k＜或k＞1

B.＜k＜1

C.k＜或k≠0

D.k＞1或k＜且k≠0

错解：方程有两个不相等的实根，＞0，

则（k-1）-4k（1-k）＞0，

解得k＜或k＞1.

此时学生认为解毕，得出错误结论A.

错解分析：

此题要求方程有两个不相等的实根，则隐含有二次项系数不为0这一条件，即k≠0，所以正确选项为A.

3.隐含≥0

例3：已知方程x+（2k+1）x+k-2=0的两个实根的平方和等于11，试求k.

错解：设方程的两根是x、x.

则有x+x=-（2k+1）；xx=k-2

依题意有x+x=（x+x）-2xx=［-（2k+1）］-2（k-2）

［-（2k+1）］-2（k-2）=11

k+2k-4=0

解得k=1，k=-3.

错解分析：

上述解答，求出k=1或k=-3后，只要把k值代入方程中，就会得到x+3x-1=0与x-5x+7=0两个方程，我们计算会发现x-5x+7=0的=-3＜0，故这一方程要舍去，即k=-3要舍去.所以k值只能取1.出错的原因就在于忽视了一元二次方程有实根的≥0这一隐含条件.

4.隐含二次根式条件

例4：已知关于x一元二次方程（1-2k）x-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

错解：=（-2）+4（1-2k）=-4k+8.

关于x一元二次方程（1-2k）x-2x-1=0有两个不相等的实数根，

-4k+8＞0且1-2k≠0，

k＞2且k≠.

错解分析：

错误的原因是忽视了二次根式的被开方数k+1≥0这一隐含条件.本题必须同时考虑1-2k≠0、＞0、k+1≥0这三个条件，才能正确求解.正确结论是：-1≤k＜2且k≠.

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