解含绝对值不等式的捷径与误区

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我们先来解一个不等式：

解关于x的不等式2x-1>3-x.

最直接的想法是去掉绝对值，当然这也是解决含绝对值问题的基本思想，于是有下面的解法.

解法1

2x-1>3-x

另外，我们知道当a≥0时，x>a？圳x>a或x

解法2

以上两种方法容易理解，且由于紧扣高中绝对值不等式的知识点，不失为好方法. 然而，就笔者所知，有同学在学习中，觉得有比以上两种更简单的解法.

解法3

的确，这种解法非常简洁，但是我们也往往产生疑问：这种解法为什么是对的？它的原理是什么？现给出如下证明.

定理1 关于x的不等式f（x）

于是上述不等式的解集用集合语言表述即为

推论1 {xf（x）≤g（x）}={x-g（x）≤f（x）≤g（x）}.

进一步的，我们也可以得到下面的结论.

定理2 关于x的不等式f（x）>g（x）的解集为{xf（x）>g（x）或f（x）< -g（x）}.

推论2 {xf（x）≥g（x）}={xf（x）≥g（x）或f（x）≤-g（x）}.

当然，定理2的证明也可不借助定理1而单独给出证明：f（x）>g（x）？圳g（x）≥0，f（x）>g（x）或f（x）

又由于当g（x）g（x）}∪{xf（x）

因此上式等价于

g（x）≥0，f（x）>g（x）或f（x）

g（x）g（x）或f（x）

？圳f（x）>g（x）或f（x）

即{xf（x）>g（x）}={xf（x）>g（x）或f（x）

因此，解法3是正确的解法，运用上述两个定理来解形如“f（x）>g（x）或f（x）

不少同学甚至老师会给出如下解法.

可是也有这样的解法.

原不等式总成立，

解法1和解法2 的结果不一致！究竟哪种解法是对的？仔细审视两种解法的过程，我们可以肯定解法2是没有问题的，那么，解法1是哪一步错了呢？

实际上，解法1中的步骤①到②是不等式的移项，没有问题；③④⑤⑥是求最值的过程，本身不存在问题；⑦是③的等价转化，也不存在问题；错误其实来源于②到③不是等价的转化！

为了更清楚地说明这个问题，我们把问题进行一般化来研究.

对任意的x∈[m，n]，f（x，a）>g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

问题等价于求集合{af（x，a）>g（x），对于？坌x∈[m，n]}. 为此，我们设

A={af（x，a）>g（x），对于？坌x∈[m，n]}，

B={af（x，a）>g（x），对于？坌x∈[m，n]}，

C={af（x，a）

解法1认为A=B∪C，这是否正确呢？我们来举一个反例.

既然对于例2这种类型的题目，不能采用解法1的办法，那应该怎样解决呢？解法2给了我们答案，最稳妥的办法应是进行分类讨论，正确地去掉绝对值，使不等式不含绝对值，这样就好办了.

值得一提的是，对于形如“f（x，a）