有关梯形的判断和说理问题

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梯形是只有一组对边平行的特殊四边形,其中,两腰相等的梯形叫做等腰梯形,一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 近年来的中考数学题中,经常遇到有关梯形的判断和说理问题,现举例介绍其解法,供同学们参考.

例1 (2009年江苏省苏州市中考题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.

(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由;

(2)当AB=DC时,四边形AEFD是矩形吗?请说明理由.

分析:(1)依题意,四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形,又四边形AEFD也是平行四边形,所以BC=3AD;(2)当AB=DC时,可得DE=AF,则四边形AEFD是矩形.

解:(1)BC=3AD,说理如下:

AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,

四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形.

BE=AD,CF=AD.

四边形AEFD是平行四边形,

EF=AD.

BC=BE+EF+CF=3AD.

(2)当AB=DC时,四边形AEFD是矩形,说理如下:

四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形,

AB=DE,DC=AF.

又,AB=DC,

DE=AF.

四边形AEFD是对角线相等的平行四边形.

四边形AEFD是矩形.

例2 (2008年广东省茂名市中考题)如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.

(1)写出图中所有与DCE全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由.

(2)探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时,对角线AC与BD互相垂直?请回答并说明理由.

分析:(1)容易发现,四边形ACED是平行四边形,则CDA≌DCE.又四边形ABCD是等腰梯形,则BAD≌CDA.于是,与DCE全等的三角形有两个;(2)如果ACBD,那么BDE是等腰直角三角形,且DF正好是该等腰直角三角形斜边上的中线,则DF=BE.

解:(1)图中与DCE全等的三角形有两对,它们是CDA≌DCE,BAD≌DCE. 现选择前者说理如下:

AD∥BC,

∠CDA=∠DCE.

AD=CE,CD=DC,

CDA≌DCE(SAS).

(2)当等腰梯形ABCD的高DF=3时,对角线AC与BD互相垂直,说理如下:

AD∥BC,CE=AD,

四边形ACED是平行四边形.

AC=DE,AC∥DE.

AC=DB,

DE=DB.

DFBC,

BF=EF=BE=(BC+CE)=3.

DF=3,

BF=DF,EF=DF.

BDF、EDF都是等腰直角三角形.

∠BDF=45°,∠EDF=45°.

∠BDE=90°,DEBD.

AC∥DE,

ACBD.

例3 (2009年山东省泰安市中考题)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CEBD.

(1)求证:BE=AD;

(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;

(3)DBC是等腰三角形吗?并说明理由.

分析:(1)只需证明EBC≌DAB;(2)先证明AC是等腰ADE的顶角∠DAE的平分线;(3)可以推出CD=CE=BD,则DBC是等腰三角形.

解:(1)证明BE=AD如下:

∠ABC=90°,AD∥BC,

∠DAB=90°=∠EBC.

CEBD,

∠ECB=90°-∠DBC=∠DBA.

AB=BC,

EBC≌DAB(SAS).

BE=AD.

(2)由E是AB的中点,得AE=BE=AD.

ADE是等腰三角形.

∠ABC=90°,AB=BC,

∠BAC=45°.

∠EAC=45°=∠BAD,

AC平分∠DAE.

AC是等腰ADE的顶角∠DAE的平分线.

AC是线段ED的垂直平分线.

(3)DBC是等腰三角形,说理如下:

EBC≌DAB,

CE=BD.

AC是线段ED的垂直平分线,

CE=CD.

BD=CD,DBC是等腰三角形.