数学方法在高中物理中的运用
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【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）07B-0045-04
物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科，数学思想方法是解决物理问题的重要工具，在高中物理中时常存在数学方法的影子。学生在解题的过程中，除面对物理知识的考查和理解外，可能也面临着数学方法、数学知识的考验，而有时数学方法的使用对问题的解决起到关键的作用。本文就高中物理解题中用到的典型的数学方法进行归纳。
一、正余弦函数在高中物理中的应用
（2012安徽理综）图1是交流发电机模型示意图。在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属环相连接，金属环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路。图2是线圈的主视图，导线ab和cd分别用他们的横截面积来表示。已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。（只考虑单匝线圈）
1.线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式；
2.线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置开始计时，如图3所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式；
3.若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热。（其他电阻均不计）
【分析与解答】
1.（如图4）线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，设ab、cd的转动速度为v，则v=ω。在t时刻，导线ab和cd因为切割磁感线产生的感应电动势方向相同，大小均为E1=BL1v2。由图象可知，v=vsinωt。整个线圈在t时刻产生的感应电动势为：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。
2.当线圈由图2位置开始转动时，在t时刻线圈的感应电动势为e2=BL1L2ω
sin（ωt+φ0）。
3.由闭合电路的欧姆定律，得I=。E为线圈中产生感应电动势的有效值，E==。线圈转动一周在R上产生的焦耳热Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω（）2。
【说明】本题考查了交流电流的产生和变化规律以及交流电路中热能的计算，主要运用到了数学里的正弦函数来处理物理问题。不仅正弦交流电的电动势和电流瞬时值，机械振动的位移时间关系、机械波波动图象等，这些周期性的复杂的过程用正余弦函数表示却会变得非常简单明了。
二、不等式法在高中物理中的应用
例1：（2010高考理综）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发。沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10 m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？
（3）若H=4m，L=5m，动摩擦因数μ=0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
【分析与解答】
.
【说明】很明显，在第二问中就用到了不等式求极值的方法，而第二步的结论又直接影响到了第三问的解答，所以数学方法的应用是本题的一个难点，也体现了数学方法的重要性。
例2：（2012广东理综，36）图5所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因素为u，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A、B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆做水平运动，滑杆的速度―时间图象如图6所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
（1）求A脱离滑杆时的速度v0及A和B碰撞过程的机械能损失ΔE。
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点运动到停止所用的时间为t1，求ω的取值范围，及t1与ω的关系式。
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）。
【分析解答】
【说明】本题是一道很典型物理问题与不等式结合的题目，主要在临界情况应用不等式极值。不等式不仅在运动学题目中应用广泛，在电学题目中也占有很大的比重。有时不等式不仅用于求解物理量的范围，还在分析物理的动力学过程中起着重要作用。
例3：在竖直面内圆周运动的临界问题分析。
物体在竖直面内做圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型――轻绳模型和轻杆模型，分析如下表所示：
【说明】由以上例子可见不等式不仅在求解范围极限这样的题型中用到，在一些临界情况的分析中不等式法更有得天独厚的优势，可见不等式与物理的结合能力也是学生分析问题时必不可少的。
三、极值法在高中物理中的应用
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
【分析与解答】
经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为s1=vt①
汽车做匀加速运动，其位移为s2=at2②
两车相距为：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③
因为上式是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故Δs有最大值。
当t=-==2s时④
Δs有最大值。
例2：如图7所示，底边恒定为b，当斜面与底边所成夹角为多大时，物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间最短？
【分析与解答】设斜面倾角为θ时，斜面长为S，物理受力如图8所示，由图知
【说明】以上两例分别是利用二次函数公式求极值、利用三角函数的有界性求极值。物理知识和数学知识灵活地结合，为解决物理学中的极值问题提供了方便，也体现了数学方法在处理物理问题上的优越性。
四、几何知识在高中物理中的应用
例1：如图9所示，在悬点O处用长为L的细绳拉着质量为m的小球，小球在半径为R的光滑半球面静止，已知悬点离半球面的竖直高度为h，试求半球对小球的支持力和绳对小球的拉力。
【分析与解答】小球的受力如图五所示，三个力中任意两个力都不垂直，且三个力构成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各边长度已知。
说明：由于三个力构成的三角形各角都是未知的，所以三角形边角关系法、正交分解法均不适用于此题，但是，ΔO′OA中各边长度已知，所以运用相似三角形法可将问题解决。
例2：房内高处有白炽灯S（点光源），如果在S所在位置沿着垂直墙壁BC的方向扔出一个小球A，如图11所示，请描述A在BC上的影子沿着BC的运动情况。
由于影子的高度H′与时间的一次方成正比，所以影子做匀速直线运动。
【说明】本题解题的关键是画出光路图，在几何关系中找准关系，然后应用物理规律解决，光学中的绝大多数题目都不可避免地要应用几何知识，本题就是一个典型的例子。
五、数列知识、比例法在高中物理中的应用
例1：（2011重庆理综，25）某仪器用电场和磁场来控制电子材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP′N′N充满竖直向下的匀强电场，宽度为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁场强度为B，厂为3s，宽为s；NN′为磁场和电场之前的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M′N′飞出。不计电子所受重力。
（1）求电子第二次与第一次圆周运动半径之比；
（2）求电场强度的取值范围；
（3）A是M′N′的中点，若要使电子在A、M′间垂直于AM′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。
【分析与解答】
（1）设圆周运动的半径分别为R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v1和v2，动能分别为Ek1和Ek2。
【说明】该题主要考查带电粒子在分离的电磁场中的运动，辅助考查在磁场中运动的临界问题。本题的解答运用到了数列知识和不等式的知识。在习题教学中运用数列法解题时，必须根据物理原理，先确定其中某几项（前几项或后几项），然后用递推的方法找出其通用公式，确定物理规律。涉及数列知识的题目多数在直线运动中出现，复杂的但有规律的运动或者动量中多次碰撞的情况也涉及数列知识。
例2：列车从车站出发做匀加速直线运动，一位旅客站在站台上列车的最前端，测得第一节车厢经过他身旁的时间是3秒，假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度，则第9节车厢经过他身旁需要多少时间？
【说明】本题按照常规的解法计算会相当麻烦，但是利用比例的方法就能很简单地解决，这就要求学生具有对数学表达的深刻观察力和善于利用比例的能力。
教学实践证明，数学方法在高中物理中的应用无论是过去、现在还是将来都扮演着十分重要的角色。在处理物理问题时，若能充分借助数学工具的作用，则对激发学生的学习兴趣，培养学生创新精神和创新能力，提高学生解决实际问题的能力起到积极的作用。总之，在物理教学中有效地利用数学，数理结合，能提升高中物理教学的有效性。因此，我们在平时的教学实践中，应从分析物理现象着手，把物理、数学知识有机结合起来，融会贯通，培养学生的综合应用能力。
（责编 林 剑）