对《牵连物体m1、m2能同时达到最大速度吗》一文的探讨

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贵刊(《中学物理》)2011年第9期P38～39刊登的《牵连物体m1、m2能同时达到最大速度吗》的文章，文章从数值计算(借助计算机)和理论分析(利用极限的方法)两个方面进行分析，得出牵连的两个物体m1、m2不能同时达到速度的最大值，笔者对原文作者的理论水平和数学水平所折服，读后深受启发.但笔者还是有一些疑问，作为教师，我该如何对学生进行讲评？为了说明问题的方便，现把原文中的题目叙述如下：

如图1所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮O与放在倾角为α的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，已知两物体由图中位置均从静止开始运动，当m2下滑L时(m2未触地)，m2所受合力恰好为零，则以下说法中正确的是

A.m2下滑过程中m2的机械能增大

B.m2下滑过程中m2的机械能减小

C.m2下滑L时m1的速度达到最大

D.m2下滑L时m1和m2的速度都为零

在原文中说该题是“在一次学生练习中遇到”的，此题正确答案为B，而大部分学生错选了C选项.为了确定该题适合什么样的学生来做，笔者又将《2011年江苏省普通高中学业水平测试(选修科目)说明》(江苏教育出版社2010年12月第1版)翻阅了一遍，在《说明》的P5“牛顿运动定律及其应用”中是这样说明的：“不要求定量求解加速度大小不同的连接体问题”.由此可以看出，该题是适合参加物理竞赛的学生而不适合参加高考的学生的.既然是参加竞赛的学生练习的一道题，就他们的认知水平，完全可以利用导数来求加速度.现分析如下：

设t时刻物体m2运动到A点，OA与初始位置的水平方向之间的夹角为θ，此时m1的速度为v1，m2的速度为v2，由于绳子不可伸长，所以v2沿绳子OA方向的分速度v∥与v1相等，即

v∥=v1=v2sinθ，

两边对时间t求导，v1对t的导数为m1的加速度a1，v2对t的导数为m2的加速度a2，θ对t的导数为绳OA绕O点转动的瞬时角速度ω.

a1=a2sinθ+v2cosθ?ω，

v2沿垂直绳OA方向的分速度

v=v2cosθ，

若OA的长度为L，则v=Lω，

得

ω=v2cosθ/L.

所以

a1=a2sinθ+v22cos2θ/L.

从a1与a2之间的关系，很容易看出，它们不可能同时为零，所以m1和m2的速度不可能同时达到最大.若给学生评讲，到此就该结束了.

下面对关系式a1=a2sinθ+v22cos2θ/L作进一步的解释.该式也可以写成a2sinθ=a1-v22cos2θ/L.

它表示的含义是：若m2沿OA方向运动，即它的速度仅是v∥，由于v∥=v1，所以m2沿OA方向的加速度应等于m1的加速度a1；若m2沿垂直于OA方向运动，它的速度仅为v，即m2绕O点做圆周运动，那么它的加速度应为沿径向(即AO方向)的向心加速度v22cos2θ/L以及切向的加速度a，(切向加速度a是由切向速度v的大小发生变化所产生的).m2的实际运动是上述两个分运动的合运动，它的加速度也就等于上述两个分运动对应的加速度的合成，在径向方向上，上述两个分加速度的方向相反，所以m2的加速度a2在径向上的分量

a2sinθ=a1-v22cos2θ/L.

a2(方向为竖直方向)可分解为径向(沿AO方向)加速度a∥与切向(垂直于AO方向)加速度a，如图3所示.

该题若让参加高考的学生来做，实属不妥，若让参加竞赛的学生来做，应该从导数的角度进行分析，这样既符合学生的认知水平，也符合学生的思维习惯.原文的数值计算，是通过计算机进行的，对于学生，一般来说是行不通的.原文的理论分析，是利用微元法进行求解的，有些繁琐.对学生进行试卷评讲，应以学生的认知水平和思维习惯为前提，以简洁明了为第一要素.如果想让参加高考的学生拓宽一下视野，连接体问题可以选用下面的题目：

如图4所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，B被托在紧挨滑轮处，细线与水平杆的夹角θ=53°，整个细线处于拉 直滑轮离水平杆的高度h=0.2 m.当B由静止释放后，A所获得的最大速度为多大？(已知sin53°=0.8，cos53°=0.6)

此题不涉及加速度的问题，当A物体由图中位置向左边定滑轮的正下方(该位置记为C)运动时，速度逐渐增大，定滑轮与A物体之间的细线长度逐渐减小，所以B物体一直下降.当A物体越过C位置继续向右运动时，速度减小，而定滑轮与A之间的细线长度逐渐增大，B物体则上升.因而，当物体A经过C位置时，速度达最大，B物体的速度为零.由机械能守恒，容易求出A物体的最大速度.