从一道不等式证明题谈起

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不等式的证明是选修4-5《不等式选讲》中的重要内容，其内涵丰富，方法灵活，技巧性强，对思维能力的要求高，怎样才能较好地掌握不等式的证明方法，从而熟练地求解不等式证明的有关问题呢？下面以一道典型的不等式证明题为例，作一些探究，供同学们参考.

例题

已知a，b∈R，且a+b=1，求证：（a+2）2+（b+2）2≥252．

分

析

在题目的条件下，怎样证明（a+2）2+（b+2）2≥252？我们可以从证明不等式的常用方法入手进行尝试.

证

法

一

（比较法）因为a，b∈R，a+b=1，所以b=1-a，所以（a+2）2+（b+2）2-252=a2+b2+4（a+b）-92=a2+（1-a）2+4-92=2a2-2a+12=2a-122≥0，即（a+2）2+（b+2）2≥252（当且仅当a=b=12时，取等号）.

评

注

要证明a＞b，只要证明a-b＞0，或当a，b均为正数时，只要证明ab＞1，这种方法叫做比较法，这是证明不等式的最基本方法.

证

法

二

（分析法）（a+2）2+（b+2）2≥252a2+b2+4（a+b）+8≥252b=1-a，a2+（1-a）2+4+8≥252a-122≥0.

因为这是显然成立的，所以原不等式成立.

评

注 分析法是一种“执果索因”的证明方法，使用时，要注意保证“后一步”是“前一步”的充分条件.

证

法

三

（综合法）因为a，b∈R，a+b=1，所以b=1-a，所以（a+2）2+（b+2）2=（a+2）2+（3-a）2=a2+4a+4+9-6a+a2=2a+122+252≥252，所以原不等式成立.

评

注

综合法是一种“由因导果”的证明方法，它的思维过程与分析法的思维过程正好相反. 一般地，实际解题时，常用分析法探索证明思路，用综合法表述证明过程.

证

法

四

（反证法）假设（a+2）2+（b+2）2＜252，则a2+b2+4（a+b）+8＜252.

由a，b∈R，a+b=1，得b=1-a，于是有a2+（1-a）2+12＜252． 所以a-122＜0，这与a-122≥0矛盾. 所以（a+2）2+（b+2）2≥252．

评

注 若从正面考虑问题比较难以入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法. 许多情况下，反证法可收到变难为易、化繁为简的效果.

证

法

五

（放缩法）因为a+b=1，所以左边=（a+2）2+（b+2）2≥2(a+2)+(b+2)22=12［（a+b）+4］2=252=右边. 所以原不等式成立.

评

注

放缩法也是证明不等式的重要方法.本题根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式a2+b2≥2a+b22进行放缩，达到了证明不等式的目的.不等式的证明与其他数学知识例如函数、方程、数列、平面向量以及三角函数等有着十分广泛的联系，在不等式的证明过程中蕴含着丰富的数学思想方法，因此，在不等式证明的学习中，除了要熟练地掌握几种基本方法外，还要注意从不等式与其他数学知识的联系和重要的数学思想方法入手，拓宽证明思路. 例如，上述例题，我们还可以运用下面的方法来进行证明.