几何概型概率的研究
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几何概型是普通高中课程人教版必修3的内容，是继古典概型之后的一个新的概率模型，是新课标新增加的内容.它把古典概型的样本空间从有限个扩充到无限个，是对连续型随机变量的概率求法进行的研究.初学时，很多考生往往无法正确识别几何概型的特点，对这一部分内容的学习有种似懂非懂的感觉，导致在遇到此类问题的时候，往往生搬硬套，特别是几何概型类的应用题或者综合问题时，更是无从下手.其实，只要能够准确掌握几何概型的概念本质，熟练运用数形结合的思想方法，几何概型问题是可以突破的.
一、 准确把握概念本质，分清概率模型
几何概型的概念如下：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P（A）=
.
此概念包含两层重要含义，一是几何概型中基本事件是构成该事件的区域中的元素，是有无限多个的，这是几何概型和古典概型最本质的区别；二是几何概型中事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例说明区域中的元素是均匀分布的，即基本事件的出现是等可能的.只有准确把握这两个特性，方可把几何概型学好.让我们从以下例题来一起分析吧.
例1.（2013年广东省华附、省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考） 设不等式组0≤x≤6，0≤y≤6表示的区域为P，不等式组0≤x≤6，x-2y≥0表示的区域为Q.
（1）在区域P中任取一点（x，y），求点（x，y）∈Q的概率；
（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）∈Q的概率.
【解析】（1）这是一个几何概型，根据题意，试验的全部结果构成的区域为平面区域P，如图中正方形OABC所示，面积为6×6=36，平面区域Q如图中三角形OAD，面积为 ×6×3=9，所以满足点（x，y）∈Q的概率P= = .
（2）这是一个古典概型，基本事件数为36，其中满足（x，y）∈Q的基本事件数有9个，
所以满足点（x，y）∈Q的概率P= = .
【点评】本题主要考查古典概型、几何概型、平面区域等知识点，考查数形结合的思想方法，考查考生作图能力和运算求解能力.要求考生能够准确分清概率模型，会根据二元一次不等式组画出平面区域，从而根据概率公式求出相应的概率.判断概率模型是关键，判断一个概率是古典概型还是几何概型，主要看基本事件的个数是有限个还是无限个.本题的两问虽然提问的问题一样，但是第（1）问中“在区域P中任取一点（x，y）”说明了基本事件（a，b）是区域P中的点，有无限个，应该用几何概型解决.而第（2）问虽然问题“点（x，y）∈Q”是一个几何范畴，但是基本事件要求“x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，”说明了基本事件（a，b）是有限个，故应该用古典概型来完成.这个例子告诉我们与几何有关的概率并不都是几何概型，而是应该根据概率的特征去辨别概率模型，作出正确的判断.
二、 熟练运用思想方法，解决各种题型
如果把数学知识比作沙子、水泥和钢筋，那么水便是思想和方法了.只有经过思想方法充分“搅拌”的知识，才是具有再生功能的知识.几何概型概率问题中常常涉及的是数形结合的思想方法，只要我们能够在几何概型的计算中熟练运用数形结合的思想方法，几何概型的学习就变得有规律可循了.下面把几何概型的常见题型进行归纳，供各位同学参考.
2.1长度问题.
与长度有关的几何概型是最基础的问题，线段上取点和区间上取值是常见类型，这一类问题常常结合不等式、平面几何等知识点进行考查.
例2.（2013年高考山东卷）在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得│x+1│-│x-2│≥1成立的概率为______.
【解析】画出数轴，求出不等式的解集为[1，+∞），不难求得概率P= = .
【点评】本题是与长度有关的几何概型问题，结合绝对值不等式和区间长度考查数形结合的思想，是高考中的常见题型，属基础题型.解题时关注数与形的转化及几何概型概率公式的应用，即把区间问题转化为数轴中的线段.
2.2面积问题.
与面积有关的几何概型问题是最常考的内容之一，与平面几何知识相结合是基本题型，它还常与平面区域、定积分等知识相结合，在知识的交汇处形成问题，命出很多综合问题，值得我们关注.
例3.（2013年广二模节选）已知正方形ABCD的边长为2，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足│PH│< 的概率.
【解析】点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是2×2=4.满足│PH│< 的点P构成的平面区域是以H为圆心， 为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以H为圆心、 为半径、圆心角为 的扇形HEG的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（AEH和DGH）内部构成. 其面积是 ×？仔×（ ）2+2× ×1×1= +1. 所以满足│PH│< 的概率为P= = + .
【点评】本题是与面积有关的几何概型问题，结合平面几何的内容.考查数形结合的思想，属中等难度题.应用到了平面几何中求面积的方法及几何概型概率的计算方法.准确画出区域│PH│< 所满足的平面区域并求出面积是解题的关键.本题很多考生会误以为│PH│< 所满足的区域为扇形而得到概率为 的错误答案，是对题意理解不透彻的表现，在平时的解题中应该尽量避免.
2.3体积问题.
与体积有关的几何概型问题，常见题型为在空间几何体中取点的问题.或者是一些有三个独立变量的问题，常结合立体几何中一些相关知识进行考查.
例4.（2013年江门一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则 ・ ≥1的概率P为____________.
【解析】解法一：全部点M构成的区域为正方体内部（含正方体表面），体积为23=8，条件 ・ ≥1可等价转化为
| || |cos？兹≥1，即
| |cos？兹≥ ，即向量 在向量 上的投影大于或等于 .所以满足 ・ ≥1的点M构成的区域为图中长方体A1B1C1D1-A2B2C2D2部分，体积为2×2× =6，所以 ・ ≥1的概率P= = .
解法二：以A为顶点建立空间直角坐标系.全部点M构成的区域为正方体内部（含表面），体积为23=8，设M点坐标为（x，y，z），则 =（0，0，2）， =（x，y，z），条件 ・ ≥1可等价转化为z≥ ，可知所以满足 ・ ≥1的点M构成的区域为图中长方体A1B1C1D1-A2B2C2D2部分，体积为2×2× =6，所以 ・ ≥1的概率P= = .
【点评】本题是与体积有关的几何概型问题，结合向量知识，考查数形结合、转化的思想方法.要求考生能够对知识进行灵活变通，对向量知识的熟练掌握.对条件 ・ ≥1的等价转化成为解题的关键.可以借助向量数量积的公式把它转化成投影，再用投影的几何意义进行直接转化，形成解法一的解题思路.也可以联想坐标在向量运算中的作用，建立空间直角坐标系，把向量问题运算转化成坐标运算，形成解法二的解题思路.
2.4应用问题.
高考中的概率常常以应用题的形式呈现.考查的测度上有长度、面积、体积，应用问题往往背景新颖，变化丰富，对考生理解题意的能力和综合能力要求较高.
例5.（2013年高考四川卷）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由于两串彩灯第一次闪亮相互独立.不妨设两串彩灯的第一次闪亮的时间分别为x，y.则试验全部结果构成的区域为{（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，建立坐标系作出平面区域如图中正方形OABC所示，面积为16，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒即|x-y|≤2，即为图中多边形OGFBED部分，所以概率为P= = = . 选C .
【点评】源于教材而又高于教材是现在高考题的命题特点，此类应用题由经典的会面问题、教材中的例2父亲拿报纸问题更换背景改编而成.主要考查几何概型中的面积问题，考查读题能力和把实际问题数学化的能力，属中等偏难题.解决几何概型类的应用问题的关键在于，如何把它转化成数学问题，前提是要审清题意，科学设计变量，理解变量之间的关系，把问题转化为熟悉的数学问题，构造相应的模型进行解答.这也是解决其它应用问题的一般方法.本题根据彩灯第一次闪亮的时间设出两个相互独立的变量，把题目中的条件转化为变量间的关系，用平面区域表示出来，实现数与形之间的转化，从而找到解题方法.
2.5综合问题.
现在高考常常立意于思想方法命题，所以特别注重在知识的交汇处形成问题的呈现，综合问题就是一种常见形式.几何概型往往会与平面区域、定积分、函数、程序框图等知识相结合，形成一些综合性较高，难度较大的题目.
例6.（2013年江门模拟）已知函数f（x）=ax2-bx-1，其中a∈（0，2]，b∈（0，2]，在其取值范围内任取实数a、b，则函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】基本事件应该是（a，b），作出平面区域如图所示，试验的全部结果构成的区域为图中OABC（不含坐标轴），面积为4，函数f（x）=ax2-bx-1在[1，+∞）单调递增的充要条件是 ≤1，即b≤2a.问题等价于向区域OABC中任意掷点，点落在区域OABD（其中点D的坐标是（1，2））中的概率，所求概率是P= = . 选D.
【点评】本题是一个综合性较高的题目，主要考查几何概型、平面区域和函数的单调性等知识点，考查函数的思想和数形结合的思想，考查综合能力，属中等偏难题.要把题目条件转化为随机变量a，b之间的关系，再用a，b建立平面直角坐标系，作出平面区域进行解决.
例7.（2013年揭阳模拟）如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】依题意知数对（x，y）对应平面直角坐标系中的点，全部基本事件（x，y）构成的区域为{（x，y）│0≤x≤1，0≤y≤1}，可用图中正方形表示，面积为1.条件y≥x2对应图中抛物线y=x2以上的部分，利用定积分求得面积S= （1-x2）dx= ，所以能输出数对（x，y）的概率P= .选D.
【点评】本题考查几何概型、程序框图、平面区域、定积分等知识点.考查数形结合的思想，考查考生对图表的解读能力.用程序框图呈现概率模型是命题的特色，解题的关键在于读懂程序框图，把题中的数对（x，y）向点（x，y）转化.找到基本事件及所对应的平面区域，用定积分求出相应的面积，再用几何概型概率公式进行运算即可.
例8.（2013年广州调研）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b， 则方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于 的椭圆的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】基本事件（a，b）构成的区域为{（a，b）│1≤a≤5，2≤b≤4}，面积为2×4=8，方程 + =1表示焦点在x轴且离心率小于 的椭圆时，即a2>b2，e= = < ，即a2>b2，a2b，a
【点评】本题也是一个综合题，考查几何概型，圆锥曲线等知识点，考查数形结合、方程的思想，考查考生综合能力和字母运算能力.由椭圆的离心率小于 得到 < 后要消去字母c，才能得到a
总结：百变的是试题，不变的是知识的本质.高考中的几何概型基本上围绕着区间长度之比、线段长度之比、面积之比、体积比之等展开，其别突出面积之比，同时关注知识之间的交汇和应用问题.只要我们能够把握几何概型的概率本质，熟练运用数形结合与转化的思想方法，把题设条件转化成概率模型，并用几何概型概率公式进行运算，那么解决几何概型问题就不难了.几何概型概率的常用的求解方法可以归纳如下：（1）分析题意适当选取观察的角度.（2）把事件的全部结果转化为对应的区域.（3）把所求事件A转化为与之对应的区域.（4）利用概率公式计算.
虽然新课标这么多年，广东省高考还没有在几何概型方面尝试命题，但是全国其它省和省内各地高考模拟的命题尝试一定会对广东高考命题有所影响，在不久的几年中也一定会在这一方面有所涉及.因此我们要关注几何概型的基本类型和基本解法，突出数学的本质，充会理解概念，学会用概念解题，熟练应用数学思想方法，定能够把这一类问题做好.
三、 练习实践
1.（2013年高考福建卷）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1
2. （2013年高考陕西卷）如图， 在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站， 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是（ ）
A. 1- B. -1 C. 2- D.
【答案】A.
3.（2013年韶关二模）已知圆x2+y2=？仔2内的曲线y=-sinx，x∈[-？仔，？仔]与x轴围成的阴影部分区域记为？赘（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域？赘的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
4. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_____.【答案】 .
5.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1其中实数a，b，满足a+b-80，b>0，则函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是________.【答案】 .
（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）
责任编校 徐国坚