“弹性碰撞”的推论及其应用

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弹性碰撞遵从动量守恒和机械能守恒。在实际处理弹性碰撞问题时，如果仅从两个守恒的角度列方程，求解过程烦琐复杂，难以得出结果。笔者用“弹性碰撞”的推论解题，方法简捷。现介绍如下，供同行参考。

一、弹性碰撞的推论

内容：发生弹性碰撞的两球，在沿相互作用力方向上，碰撞前的相对速度与碰撞后的相对速度大小相等、方向相反。即v2-v1=-（v20-v10）。

[TPy6-8.tif；Z*2，Y#]

证明：以两球发生对心弹性碰撞为例，如图所示。设碰撞前两球的速度分别为v10和v20，碰撞后的速度分别为v1和v2，根据弹性碰撞过程中动量守恒和机械能守恒有：

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2[JY]①

12m1v210+12m2v220=12m1v21+12m2v22[JY]②

由①②式解得：

v1=(m1-m2)v10+2m2v20m1+m2[JY]③

v2=2m1v10+(m2-m1)v20m1+m2[JY]④

④-③得到v2-v1=-（v20-v10），故推论成立。

二、应用

质量为M、半径为R的铁环放在光滑的水平面上，另有质量为m的小球以初速度v0从O′出发沿图中箭头方向做匀速直线运动。如图所示，已知OO′=R2，求经过多长时间小球将与铁环发生N次弹性碰撞？[TPy6-10.tif；X*2，BP]

解析：小球与铁环在A点相碰后，小球和铁环相互作用力沿铁环上A点的法线方向即OA方向，而小球入射方向是O′A，故属于非对心弹性碰撞。由几何知识得∠O′AO=30°。将小球的初速度v0沿A点的切线τ和法线n方向进行分解，则

v0τ=v0sin30°=12v0

v0n=v1cos30°=32v0

根据“弹性碰撞”的推论可知：碰撞以后小球沿A点法线方向的相对速度vn′=-v0n，“-”号表示其方向与v0n相反即沿AO方向；而切线方向因不受力，碰撞后的相对速度仍是v0τ。如果以圆环为参考系，则碰撞后小球的速度沿AB方向，其中A、B满足∠OAB=30°，所以小球在碰撞点A反射角等于入射角，∠O′AB=60°。同样道理，小球在B和C点与铁环碰撞后，也满足反射角等于入射角，碰后将分别沿直线BC和CA运动。这样一来，小球将不断地在一个等边ABC的三边上以速度v0做匀速运动，在三个顶点A、B、C处与铁环发生碰撞。若当小球从O′点出发时开始计时，则第1次、第2次……第N次碰撞的时刻依次为：

其中L为正三角形的边长，由几何关系知：L=2Rcos∠O′AO=3R。

代入数值并整理得

tN=32（2N-1）Rv0 （其中N=1、2、3……）

点评：该题巧用“弹性碰撞”的推论，使一道比较难的题目立即化解为一道常规题。由此可见，在平时教学过程中，教师有意识地为学生解题拓宽思路、开阔视野，是解决难题的关键所在。

（作者单位：河南省杞县第一高级中学）