例谈分段函数

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【中图分类号】G633.34 【文章标识码】B 【文章编号】1326-3587（2012）09-0026-02

分段函数是一类典型的函数，在高中数学教材中并没有明确给出定义和说明，但分段函数处处可见。因此，在教学过程中不能忽视，本文就分段函数的若干问题举例说明。

一、分段函数的定义

1.若实数区间错误！未找到引用源。 ,且 Φ，则定义在 上的函数 叫分段函数。

2.其特征是自变量在定义域的不同子区间上取值时，对应法则不同。

3.要正确区分分段函数与多值函数。

例如： 如写作y=±(x+1) 是错误的。

二、分段函数的应用

1.求解析式。

例1. 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点p，沿折线BCDA由B（起点）向点A（

终点）运动，设p运动的路程为x, APB 的面积为y，求y关于x的函数关系式

解：当0≤x

当4≤x≤8时，y= 错误！未找到引用源。4错误！未找到引用源。

当8≤x≤12时，y= 错误！未找到引用源。4错误！未找到引用源。

故y与x的函数关系式为：y= y=错误！未找到引用源。

2.求值。

例2. 已知f(x)= 若f(x)=3,则x的值为（ ）

A、 1 B、 1 或错误！未找到引用源。 C、 ± D、

辨析：当x

当-1

当x ，x= 不合题意，故选D。

3. 画图象。

例3. 画出 的图象

解： ，去根号得 y=

去绝对值符号得y=

于是，画出图象如图3。

4. 求最值。

例4．对于每个实数x，设f(x)取y=4x+1，y=x+2, y=-2x+4三个函数的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值。

解析：由直线y=4x+1与y=x+2求得交点A（

由直线y=x+2,y=-2x+4，求出交点B( ).由图象可看出

f(x)的最大值为f((错误！未找到引用源。

5. 求单调区间。

例5. 画出 的图像，指出其单调区间。

解析：画出画出 的图像如图，可知f(x)在区间(-∞,0 ] 和[1， +∞)上都是增函数，在区间[0,1 )上是减函数。

6. 判奇偶性。

例6. 判断 的奇偶性。

解：

f(x)=-f(x)

f(x)为奇函数。

分段函数是高中函数的重要类型，要正确理解这种函数与构成它的各个“分函数”之间的关系，处理好整体与局部的关系，在求解分段函数时，要十分注意分类讨论思想的指导作用，采用分合相辅的解题策略（将分而治之与整体思考结合起来，从合求分，分合并用），并灵活运用处理函数问题的思想和方法。