深研教材,在习题中挖掘开放性试题

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九年制教育全日制初级中学《数学教学大纲》指出：使学生能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成教学创新意识。教学创新意识的培养是让学生不断追求新知，独立思考，从教学的角度发现并提出问题，并用数学方法加以探索，研究解决。近几年中考试题中出现了不少的开放性试题。开放性试题对学生用数字意识的训练，创新意识的提高，发展思维能力的培养起着实质性的作用。既培养了学生的发散性思维，又培养了学生凝聚性思维创新能力。本文就课本习题多角度、不同方位地对题目进行分析、挖掘，编拟开放性试题，使学生对所学知识横向沟通拓宽，纵向联系加深，真正发挥课本的培养学生创新意识的教育功能。

例1：初中《几何》第二册179页例1，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。这是一道很普通的题目，但是对该题进行引申、变化，就得到如下的开放性试题：

（1）、若四边形ABCD分别是矩形、菱形、正方形，则顺次连接各边中点E、F、G、H，所得的四边形EFGH分别是什么图形？ 试证明你的结论。

这题条件、结论、解法等都是开放性题目，对学生学习本章知识进行综合性检测。

（2）、顺次连接四边形四边中点所得到四边形如果是矩形、菱形、正方形、平行四边形，那么原来的四边形对角线分别又有什么关系？请说明理由。这样一变换，对学生所学知识就系统化了。

在黄岗市中考中就有这样一题：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且 = = = =K（K>0），阅读下列材料回答后面问题：如图：连接BD，

= ，EH∥BD，

= ，FG∥BD，

FG∥EH，

（1）、连接AC，AC与GH是否一定平行？

（2）、当K为多少时，四边形EFGH为平行四边形？

（3）、在（2）的情况下，对角线AC与BD只需满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？

这是一道非常典型的阅读型开放性试题，适合于学生发散性思维和创造能力的培养。

例2：如果直线l ∥l ，那么ABC与A BC的面积相等吗？为什么？（几何第二册P144页习题3）如图。

这是一道非常普通习题。答案非常简单。若就题论题，一带而过，那么收获不会很大，若能深入钻研，掌握其实质，挖掘其丰富内涵进行推广引申，就会发现此题内在的动能和应用价值。根据本题，不难得出如下结论：

结论1：同底等高的三角形面积相等。

结论2：面积相等，同底等高，顶点在底边同侧的三角形，其顶点连接平行于底边。

结论3：高合一，底共线的三角形面积的比等于它们底边的比。

引导学生研究课本习题的潜在功能，不仅可以获得一些数学知识的巧妙解法，还可以帮助学生进一步掌握好书本知识，提高思维能力，形成用数学的意识，在此基础上，也可编撰如下的开放性试题：

已知一个三角形，求作一个三角形，使它的面积等于已知三角形面积。（要求：保留作图痕迹，不写作法。有几种作法，就作几个图形），这样的三角形至少可作五个（略）。

例3：直角三角形被斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似（几何第二册P226页例2）

在进行比例教学以后，再细细品味，就可得到一个开放性试题：如图，在RtABC中，CD是斜边是的高，请就此图形写出你能得到的图形。

这是平几中的一个基本图形，它包含如下性质和结论：

（1）、两对相等的锐角，即∠ACD=∠B， ∠A=∠BCD

（2）、三个相似三角形。即ABC∽CBD∽ACD

（3）、射影定理：CD =AD、BD ，AC =AD、AB， CB =BD、AB

（4）、边之比的推广： = =

（5）、RtABC斜边上的高CD= =

（6）、RtABC外接圆半径R= ，内切圆半径r= 或r=

（7）、 + = ……

要把学生从题海中解脱出来，鼓励学生积极探索，充分发挥习题的潜在功能，培养与提高学生的思维能力，这是落实素质教育的需要，也是《初中数学教学大纲》明确规定达到的目的之一。

学习了《圆》的有关知识以后，为检测学生应用知识的能力，可设计下面的开放性试题。

例4：如图，已知O内切于四边形ABCD，AB=AD，连接AC、BD，由这些条件，你能推出哪些结论？（要求画出图形，不写画法，图中除A、B、C、D外不再标明其他字母，不再添加辅助线）

此题实际上是限制了解法而不限制结论，因此，要认真分析，发现问题，提出猜想，再进行证明。由于AB=AD，且AB、AD、DC、AB是圆的切线，可以得到许多结论，如由切线长定理可得AC平分∠BAD；由AB=AD可得AC垂直平分BD；由AC垂直平分BD可得BC=CD等等，这样至少可以写出8个结论。

综上所述，教材在习题中开放性试题重在阅读、注重审题、理清题意、结合所学教材中的定义、性质、定理等灵活地应用，在开放性试题中，才能达到深入专研的效果，才能掌握其实质，挖掘其丰富内涵，进行推广引申就会发现此题内在的动力和应用价值。

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