高中阶段二次函数的应用

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二次函数的应用非常广泛，在九年义务教育初中的数学教材中，对二次函数的介绍也很详细，但是对于初中的学生来说，由于相应的基础薄弱，理解二次函数就有点困难，很难从本质上加以理解，因此应用起来就很困难.在学生进入了高中学习以后，随着大脑的发育成熟，理解能力大为提高，学生对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、有界性、奇偶性）要灵活应用.

一、深入理解二次函数的基本概念

初中的数学教材对函数有了大致的定义，学生进入高中以后在学习了集合的基础上又学习了映射.有了映射的基础，接着重新学习函数概念，也主要是应用映射的知识来阐明、解释函数.这个阶段由于学生思想上对函数有了一定的理解，特别是用二次函数为例来加以更深认识函数的概念.

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.

在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

例如，已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

又如，设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

对于这样的问题，我们可以这样理解：在已知的对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，实际上就是求其的对应法则.

主要的方法有以下两种：①把所给表达式表示成x+1的多项式.即f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1，得f（x）=x2-6x+6.② 变量代换：这种方法的应用很多，一般的函数都可以用这种方法.令y=x+1，则x=y-1.所以（y）=（ y-1）2-4（y-1）+1=y2-6y+6.从而f（x）=x2-6x+6.

二、二次函数的单调性，图象与最值

在高中阶段学习函数的单调性时，必须让学生掌握二次函数y=ax2+bx+c的单调性，当a>0时（-∞，-b2a）是这个函数的单调减区间，（-b2a，+∞）是它的单调增区间，“左降右升”，此时函数有最小值可理解为“落入低谷”；当a

例如，画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性.

（1）y=x2+2|x-1|-1；

（2）y=|x2-1|；

（3）=x2+2|x|-1.

要让学生特别注意这些函数与二次函数的联系和区别.对于有绝对值符号的函数，一定要学会用分段函数去表示，再画出这些函数的图象.

三、二次函数在生活中的运用

利用所学二次函数的知识来解决一些生活中的具体问题，会让学生觉得学有所用，因而更能激发学生的学习热情.

例如，某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

分析：如果每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件，则平均每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40-x）元.

解：设每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件.

根据题意，得商场平均每天盈利y =（20+2x）（40 -x）=-2x2+60x+800.

根据函数的性质，可以得出当x=15时，函数有最大值1250.

我们可以发现，二次函数在生活当中有着重要的作用.二次函数有着丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，我们可以根据其相关知识变化出很多类型的数学问题，通过这些题目的解答，可以有效地考查学生的数学基础知识以及学生综合应用数学的素质，特别是能从解答的深入程度中，培养学生运用数学知识、解决数学问题的能力.