胸中有图 力求以形助数
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图象法是一种常用的数学方法，其解题实质是通过运用数形结合的思想，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而直观地发现解题途径，简化解题过程. 从历年的高考形势来看，图象法主要应用在方程、不等式、函数、复数、导数等方面. 一般说来，作图的方法主要有列表描点法和图象变换法等. 在应用时，数形结合是图象法的最好体现，很多棘手的代数问题在使用数形结合的方法后即可迎刃而解，且解法简捷. 下面笔者通过几个不同的例子介绍图象法的应用．
一、应用于不等式
例1若不等式≥x（a>0）的解集为｛x｜m≤x≤n｝，且｜m－n｜＝2a，则a的值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：在同一坐标系中画出函数y=与y=x的图象（如图1），依题意得，m＝－a，n＝a，从而＝a⇒a＝0或2，且a＝0应舍去，故选B.
[y][x][y=x][y=][m][n][O]
图1
点评：此题如果用代数法求解，容易两边平方，导致变形过程不等价而出错，并且等价变形时需要讨论，这样势必会造成“小题大做”. 在解决类似此题中的“超越不等式”的问题时，一定要用图象法，因为用图象法可以避开繁琐的代数解法，充分体现了图象法解题的简捷性. 另外，这道题还可以变形为利用图象解不等式的题目.
二、应用于方程
例2方程lgx＝sinx的实根的个数为（）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：在同一坐标系中作出函数y＝sinx，y＝lgx的图象（如图2），即可知道答案. 故选C.
[y][x][1][-1][O][π][2π][3π][4π][y＝sinx][y＝lgx][1]
图2
点评：这道题中的方程是中学所学知识无法解决的“超越方程”，此时必须要用图象法求解. 一般说来，研究对数方程时，需先将方程作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况. 本题中的方程还可以变形为lgx＝sinx，再用图象法确定方程实根的个数.
三、应用于函数
例3如果实数x、y满足（x－2）2＋y2＝3，则的最大值为_______.
解析：如图3所示，方程（x－2）2＋y2＝3表示一个圆，圆心为（2，0），半径r＝. 而＝则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率，所以该问题可转化为几何问题，动点A在以（2，0）为圆心，为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值. 由图可知，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大. 经过简单计算，得到最大值为tan60°＝. 故答案为.
[y][x][O][A][M]
图3
点评：本题中的代数式有明显的几何意义，即表示直线的斜率. 一般说来，求解有明显几何意义的代数式的值域与最值时，如果利用图象法求解，则可将数形结合的思想更加完美地体现出来.
四、应用于区间问题
例4方程lgx＋x＝3的解所在的区间为（）
A． （0，1） B． （1，2）
C． （2，3） D． （3，＋∞）
解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图象（如图4）． 它们交点的横坐标x0显然在区间（1，3）内，由此可排除答案A和D． 至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观判断就比较困难了． 事实上，此时应比较x0与2的大小． 当x＝2时，lgx＝lg2，3－x＝1，由于lg2＜1，所以x0＞2，从而判定x0∈（2，3），故选C．
[y][x][O][3][x0][3][2][1][1]
图4
点评：本题通过构造函数，利用数形结合的方法对方程lgx＋x＝3的解所在的区间进行求解. 数形结合要在“结合”方面下工夫，不仅要通过图象进行直观地估计，而且还要计算与x0邻近的两个数的函数值，并通过比较其大小进行判断.
五、应用于复数
例5已知复数z1＝3－i，｜z2｜＝2，则 ｜z1＋z2｜的最大值为（）
A. －2 B. 5
C. 2＋ D. 2＋2
解析：由｜z2｜＝2可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上，而 ｜z1＋z2｜＝｜z2－（－z1）｜＝｜z2－（－3＋i）｜，即表示复数z2与－3＋i对应的点的距离. 画出图象（如图5），由图易知，该距离的最大值为｜PO｜＋r＝＋2＝＋2，故选C.
[y][x][O][z2][P（-3，1）]
图5
点评：本题中复数的模有明显的几何意义，此时借助图象可以帮助我们直观地认识问题. 充分地运用复数的模、幅角以及复数运算的几何意义，将复数问题转化为平面图形上的距离和角度问题，是解决复数问题的常用方法.
六、应用于抽象函数
例6定义在R上的函数y＝f（x）在（－∞，2）上为增函数，且函数y＝f（x＋2）的图象的对称轴为x＝0，则（）
A. f（－1）＜f（3） B. f（0）＞f（3）
C. f（－1）＝f（－3） D. f（2）＜f（3）
解析：f（x＋2）的图象是由f（x）的图象向左平移2个单位得到的. 由f（x＋2）的图象关于直线x＝0（即y轴）对称，可推知f（x）的图象关于直线x＝2对称. 又由f（x）在（－∞，2）上为增函数可知， f（x）在（2，＋∞）上为减函数，依此比较函数值的大小. 故选A.
点评：本题是应用函数y＝f（x）的性质和图象变换的知识，比较有关函数值的大小的题型. 事实上，函数的图象与性质在学习中是“互相利用”的关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性以及求最值等方面都有重要的用途.
七、应用于导数
例7（Ⅰ）（2008年福建）已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象（如图6），那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（）
[y＝g ′（x）][y][x][O][y＝f ′（x）][x0]
图6
[y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0][y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0]
A B
[y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0][y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0]
C D
解析：根据导数的几何意义以及导函数与原函数的关系，由导函数的图象可知，函数y＝f（x）和y＝g（x）都在递增，且函数y＝f（x）增加得越来越慢，函数y＝g（x）增加得越来越快，而两函数在x0处的切线平行，经比较，可得最终答案. 故选D.
（Ⅱ）（2006年天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如图7所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
[y][x][O][b][a][y=f ′（x）]
图7
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
解析：极小值点在导函数图象上是负数到正数穿过x轴的交点（如图7）. 由图象可知，在区间（a，0）的图象上有一个极小值点. 故选A.
点评：以上两题主要考查了函数的导数和函数图象的性质等基础知识的应用能力. 同学们要熟练掌握导数的几何意义以及导函数与原函数之间的关系.