斐波纳契数列

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（武汉市中考题）阳阳和明明玩上楼游戏，规定一步只能上一级或二级，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21……（这就是著名的斐波纳契数列）。请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法。

本题以数列为载体，需要探求数字之间蕴含的关系和规律。通过观察、比较、猜想、归纳，我们发现数列排列的规律是：从第3个数字开始，每个数都是它前面两个数的和。故不难得出第10个台阶共有89种上法。

那么，什么是斐波纳契数列？

1228年，意大利数学家斐波纳契在《算法之书》中提出了一个著名的问题：假设一对刚出生的兔子，一个月后，长成大兔；再经过一个月，生出了一对小兔。三个月过后，大兔又生一对小兔，而原先的小兔长成大兔……总之，每过一个月小兔可以长成大兔，而一对大兔，每一个月总生出一对小兔，并且不发生死亡，问这样过了一年，共有多少对兔子？

我们画出图形，以便寻找兔子数的规律。图中“”表示小兔，“O”表示大兔。

显然，某月后的兔子数由两部分组成：大兔数和小兔数。而当月的小兔数，就是上月的大兔数，因为上月有多少对大兔，下月就有多少对小兔；而当月的大兔数，则是上月兔子总数，因为不管大兔、小兔，到下月都是大兔。根据这一结论，又可知道，上月的大兔数，总是前月的兔子总数。所以，当月的兔子数等于上月的兔子数加上上月的大兔数，也就等于上月的兔子数加上前月的兔子数。

于是，不难得出开始、一月后、二月后……十二个月后的兔子对数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

所以，本题的答案是233对。

由一对兔子繁殖问题而衍生出来的斐波纳契数列是数学中的一个热门话题，它不但有趣，而且很有用，近年的不少数学竞赛试题也与“斐波纳契数列”有关。

例1 （湖北省四通杯）在春节期间，某超市准备利用超大屏幕反复播放一个广告节目，这个节目每次播放时间是10秒，如果开始只有一段10秒的录像母带，若用两盘空白录像带在一台录像机上开始互录，问应如何操作，才能用最少的录制遍数录制一盘可以播放1小时的广告节目？

解析：首先将母带上的节目分别录入两个空白磁带，然后将两盘磁带循环进行转录，直至录入所需要的时间长度为止。由于广告节目每次播放时间是10秒，又需播放1小时，故录制遍数为3600÷10=360（遍），从上面设计录制过程容易得出每次录入的遍数，它们刚好是“斐波纳契数列”。分别是F1=1，F2=1，F3=2，F4=3……，F11=89，F12=144，F13=233，F14=377；由377>360，故陆续录制14次即可完成。

例2 （江苏省数学竞赛）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n>1）段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值，此时有几种方法将铁丝截成满足条件的n段？

解析：欲使n尽可能的大，则每一段应尽可能地短。又由于每段长为不小于1cm，故最短的一段应取1cm，假设含有1cm的起始三段长为1，x，y，且1≤x≤y.为了使这三段不能构成三角形，则1+x≤y.又x，y尽可能地短，因此可取x=1，y=2，于是这n段可按1，1，2，3，5，8，13，…截取，它们刚好符合“斐波纳契数列”。又因为1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143150，故n的最大值为10，因此将长为150的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方法：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，62

1，1，2，3，5，8，13，21，35，61

1，1，2，3，5，8，13，21，36，60

1，1，2，3，5，8，13，21，37，59

1，1，2，3，5，8，13，22，35，60

1，1，2，3，5，8，13，22，36，59

1，1，2，3，5，8，13，22，36，58