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摘要: 证明了对于任意自然数n(≥2),存在n次有理函数,使其julia集为整个扩充复平面,这些有理函数与前人找到的例子不共形共轭.
关键词: 有理函数;Julia集;Fatou集;临界点;同期循环
中图分类号:O174.4
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)03-0185-03
New Examples of the Explosion of Julia Set in the Rational Function
PU Tongguan
(School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming 650031, China)
Abstract:
For any natural number n(≥2), there is a rational function of degree n which makes the Julia set of the rational function be the entire complex sphere. These examples are different from previous ones.
Key words:
rational function;Julia set;Fatou set;critical point;periodic cycle
1 问题的提出及主要结果
本文使用复解析动力系统中的标准记号[1].20世纪80年代以来,复解析动力系统这一领域受到了广泛的关注,已成为国际上公认的复分析的主要研究方向之一.许多国际上著名的数学家如:Douady,Hubbard,Thurston,Baker和Yoccoz等均在这一研究领域做出了杰出的贡献.目前研究领域的突出特点是拓扑学、代数学理论以及现代分析理论的综合运用,特别是近年来大型电子计算机的飞速发展,给研究工作提供了有效的实验工具,人们借助先进的快速计算和模拟手段实现了历史上的许多梦想,也为这一学科的发展进一步提供了可靠的原始素材.
在动力系统的研究中,对Fatou集和Julia集结构的研究是非常重要的,由于Julia集一般呈分形的结构,所以较为复杂,极难刻画.Julia集是非空的,它或为整个Riemann球面或者具有空的内部,早在1918年,Lattes就找到了一个Julia集为扩充复平面的有理函数,即
P(z)=(z2+1)24z(z2-1) .
Lattes利用Weierstrass椭圆函数的性质来对此进行证明.另外一个Julia集为扩充复平面的有理函数是Q(z)=(z-2z)2,根据共轭函数的性质我们知道,与P(z)共轭的有理函数,其Julia集为C,相应地,与Q(z)共轭的有理函数,其Julia集也为C.本文给出了任意n(≥2)次有理函数,它们的Julia集为整个Riemann球面.
定理 对任意的自然数n(≥2),则方程
-λ3(1-n)n-1nn2-2((-n)n-λ(1-n)n-1)n+[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-2]n=0
在(-∞,-1)中至少有一个根λ0,使有理函数R(z)=λ0z(1-z)n的Julia集是C.
2 几个引理的介绍
引理1[2] 设θ为无理数且满足Siegel型的丢番图条件,则对于任意的自然数n(≥2),有理函数Rλ(z)=λz(1-z)n(其中λ=e2πiθ)的Fatou分支循环一定不存在Herman环循环.
引理2[3] 设{Ω1,Ω2,…,Ωq}为有理函数R的一个Siegel盘或Herman环循环,则CR+的闭包包含Ωj(j=1,2,…,q).
引理3[1] (分类定理)设F为有理映射R的Fatou集,F0为F的一个向前分支,则F为下5五种类型之一:1)吸性分支; 2)超吸性分支; 3)抛物分支; 4)Siegel盘; 5)Herman环.
引理4[4] 设f(x)在[a,b]上连续, f(a)与f(b)异号,那么在[a,b]内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0.
引理5[3] 设R为deg(R)≥2的有理函数,则R的每个吸性(超吸性)循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.
引理6[3] 设R为deg(R)≥2的有理函数,则R的每个中性循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.
3 定理的证明
由引理1知,Rλ(z)=λz(1-z)n没有Herman环.又Rλ′(z)=λ(1+(n-1)z)(1-z)n+1,可知CR={11-n,1,∞}.对任意的满足定理条件的λ,可知0为Rλ(z)的一个斥性不动点.因为Rλ(z)的所有系数均为实数,所以Rλ(z)的所有临界值均为实的,则引理2即临界点与Siegel盘循环的关系知Rλ(z)无Siegel盘.接下来,由Sullivan定理及分类定理,即引理3,我们只需要证明对任意满足条件的λ,Rλ(z)没有吸性分支,超吸性分支以及抛物分支即可.显然,对任意的λ满足定理的条件,1最终被映到斥性不动点z=0,所以1∈J(Rλ).对z=11-n以及λ∈(-∞,+∞),下面等式成立.
Rλ(11-n)=λ(1-n)n-1(-n)n,
Rλ2(11-n)=λ2(1-n)n-1(-n)n2-n[(-n)n-λ(1-n)n-1]n,
Rλ3(11-n)=λ3(1-n)n-1nn2-n((-n)n-λ(1-n)n-1)n2-n[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-n]n.
令Rλ3(11-n)=1,则我们就有
-λ3(1-n)n-1nn2-2((-n)n-λ(1-n)n-1)n+[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-2]n=0.(1)
下面我们证明存在λ0∈(-∞,-1),使得λ0满足上面这个方程(1).
设
f0(λ)=-λ3(1-n)n-1nn2-2((-n)n-λ(1-n)n-1)n+[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-2]n则f0(-1)=(1-n)n-1nn2-n((-n)n+(1-n)n-1)n2-n+[((-n)n+(1-n)n-1)n-(1-n)n-1nn2-n]n
当n为偶数时
f0(-1)=-(n-1)n-1nn2-n((n)n-(n-1)n-1)n2-n+[((n)n-(n-1)n-1)n+(n-1)n-1nn2-n]n>0.
当n为奇数时
f0(-1)=(n-1)n-1nn2-n((-n)n+(n-1)n-1)n2-n+[((-n)n+(n-1)n-1)n-(n-1)n-1nn2-n]n
当n为偶数时
f0(λ)=-λ3(1-n)n-1nn2-2((-n)n-λ(1-n)n-1)n+[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-2]n-∞(λ-∞).
当n为奇数时
f0(λ)=-λ3(1-n)n-1nn2-2((-n)n-λ(1-n)n-1)n+[((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-2]n+∞(λ-∞).
于是由零点的存在性定理,即引理4知存在λ0∈(-∞,-1),使得(1)式成立.因此我们就有.由于1最终被映到斥性不动点0,且∞也被映到斥性不动点0,从而由临界点与吸性(超吸性)循环以及临界点与中性循环之间的关系即引理5和引理6,我们知道FRλ0无吸性分支,超吸性分支以及抛物分支.故当λ满足定理的条件时有J(Rλ)=C.从而定理得证.
4 注记
定理中找到的有理函数Rλ0不属于前述的Julia集“爆炸”的有理函数的共轭等价类中,首先Rλ0与Lattes找到的有理函数P(z)=(z2+1)24z(z2-1)不共轭,其次Rλ0和Q(z)=(z-2z)2也不共轭.
在对有理函数Julia集“爆炸”的研究中,我们有这样的结论:
定理1[3] 设R为度d≥2的有理函数,如果R的所有临界点均为预周期的,则J(R)=C.
事实上,上述出现的有理函数均能归入一类,因为它们都满足这个定理1中的条件.关于Julia集“爆炸”的现象,我们还有一些其它的结论,例如Herman给出了一维参数集的稠密子集确保了Julia集为C的有理函数的存在性,然而这样的稠密子集却不能描述得很清楚,所以这个结果并没有给出新的Julia集“爆炸”的精确的例子.Rees给出了如下的一个有关复解析有理函数族的结果:所有的固定度d≥2且其Julia集为C的有理函数构成了一个具有正测度的子集.Nninger和Peherstoper[5] 给出了一族新的实解析有理函数,其Julia集为C,他们在文献[5]中证明了如下定理:
定理2 设R为度d≥2的实有理函数,且存在实数区间(a,b)(a,b∈J(R))使得R(R)[a,b],在(a,b)上有φR
上述定理中R=R∪{-∞,+∞},CR是指R的临界点集,φR指的是R的Schwarz导数.易见,定理中的Rλ0为实的有理函数,但它明显不满足这个定理的条件.
参考文献:
[1]BERDON A F.Iteration of rational function[M].New York: Springer-verlag,1991.
[2]浦同贯.两族含参有理函数的动力学性质[D].昆明:云南师范大学,2009.
[3]任福尧.复解析动力系统[M].上海:复旦大学出版社,1997.
[4]陈传璋,金福临.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,1999.
[5]INNINGER C,PEHERSTOPER F.A new simple class of rational functions whose Julia set is the Riemann sphere[J].J London Math Soc,2002,65(2):453-463.