比较思维在数学教学中的运用

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摘 要: 在数学教学中教师恰当地运用比较思维,有助于提高学生的记忆能力、分析能力和归纳、概括能力,有助于学生知识结构的重建和创新思维的发展。

关键词: 数学教学 比较思维 运用

俄国教育家乌申斯基说过:“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切。”显然,乌申斯基所强调的是一种思维能力,即比较思维能力。比较思维是指根据两个或两个以上相同或相似特征的事物间的对比,异中求同,同中求异,并从中归纳出有实质性或有意义的结论。在教学中恰当地运用比较思维,有助于提高学生的记忆能力、分析能力和归纳、概括能力,有助于学生知识结构的重建和创新思维的发展。因而,教师应善于运用比较思维。

在数学教学中如何运用比较思维,我结合教学通过具体实例来谈谈。

一、在概念教学中深化学生对概念的理解

例1.已知函数f(x)=1g(x+mx+1),

(1)若定义域为R,求m的取值范围;

(2)若值域为R,求m的取值范围。

解:(1)函数f(x)=1g(x+mx+1)的定义域为R,则x+mx+1>0在R上恒成立,即=m-4

(2)函数f(x)=1g(x+mx+1)的值域为R,则真数x+mx+1必须取遍所有的正数,即=m-4≥0,得m≤-2或m≥2。

评析:此题可以看到除了定义域和值域不同外,其余均同。要想解决此题,必须明确定义域和值域这两个概念,虽然它们都是集合,但定义域是自变量的取值集合,而值域是因变量的取值集合。同中求异可知定义域为R应转化为真数大于零恒成立,值域为R应转化为真数能取遍所有的正数,一词之差,答案完全相反。

运用比较思维可以使学生更加明确定义域和值域这两个概念,指出它们的不同点和相同点,有助于学生理解概念的本质。

例2.已知f(x)=2+,

(1)求f()的反函数;

(2)求f()。

解:(1)由y=f()=2+,得x=,故f()的反函数是y=(x≠2)。

(2)由y=f(x)=2+,得x=,故f(x)=,则f()=(x≠6)。

评析:有不少学生把f()的反函数与f()等同看待,其实不然,此题是考查反函数和反函数值两个概念。求解过程中虽都有求反函数这一过程,但先求与后求就不同了,求f()的反函数思路是:f(x)f()的复合函数求解反函数;而f()思路是:f(x)f(x)f()。进而可知这类题的一般性结论:一般的,f(g(x))的反函数与f(g(x))是不同的,前者是求一个复合函数的反函数,而后者是在求出y=f(x)的反函数后,再求出这个反函数与函数g(x)的复合函数。

在概念的教学中,运用比较思维,可以使学生对概念理解得更加深刻,使貌似神离的问题得以更加清晰的认识,进而深化学生对数学概念的理解。

二、在公式教学中强化学生对公式的准确灵活运用

例3.若α,β均为锐角,且cosα=,cosβ=,求α+β的值。

错解:因为α,β均为锐角,所以sinα===,sinβ=,

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=・+・=。

因为0

正解:因为α,β均为锐角,所以sinα===,sinβ=,

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=・-・=。

因为0

评析:sin(α+β)和cos(α+β)均能求解,但稍有不慎,就会出现不同的结果,究其原因可知:α+β的余弦值符号在第一象限和在第二象限是不同的,当0

我在教学中通过cos(α+β)与sin(α+β)公式的应用比较,使学生更明确此两公式应用时的共性和其各自的特性,有助于学生灵活处理各类具体问题,掌握公式间的内在联系,使学生驾驭公式的能力在潜移默化中得到提高。

例4.设{b}是等比数列,b=9,b=81,求b。

错解:因为{b}是等比数列,所以b是b,b的等比中项,即b=b・b,所以b=±=±27。

正解:b=b・q,所以q=9,q=3,所以b=bq=9×3=27。

评析:b=9>0,b=bq,也就是说b和b的符号应相同,从而知b>0。

通过上面两种解法比较,发现在应用等比中项公式时,并不说所有的等比中项都有两解,应试具体情况而言。运用比较思维,学生在对等比中项公式应用时会有一个更清醒的认识,对公式有一个再认识和再提高,进而,可以活跃解题思想,在“应用―实践―再应用”的螺旋式中上升,最终实现教学相长。

三、在解题教学中优化学生解题过程,归纳解题策略

例5.求cos20°cos40°cos80°的值。

解一:由sin2α=2sinαcosα,得cosα=,分别应用于原式中三个因子得:cos20°cos40°cos80°=・・==。

解二:将所求的式的分子、分母同乘以2sin20°,逐次应用S,得:

原式===。

解三:令x=cos20°cos40°cos80°,y=sin20°sin40°sin80°,

则xy=,即xy=

所以x=。

评析:此解法是挖掘题目条件中潜在信息,构造对偶式来求解。从这三种解法中可知解法三较简捷,通过这一题多解的比较,不仅可以让学生从不同角度去运用某些基础知识和训练基本技能,而且可以使学生从中得出解决此类题目最简捷的思路、方法。

例6.(1)4男3女排成一排,男、女生必须相间的排法有多少种?

(2)4男4女排成一排,男、女生必须相间而排,有多少种排法?

解:(1)先将3女生排成一排有A种,将4男生排在3女生的两空隙和两端共有A种排法,因此满足条件的排法共有AA=144种。

(2)先将4男生排好有A种,排4女生时用位置分析法,此时有两种情况即“女男女男女男女男,男女男女男女男女”,因此满足条件的排法有2AA=1152种。

评注:相间问题实质是不相邻问题,运用插空法来解,但它又不同于不相邻问题,该种问题要搞清“谁排谁插”。通过比较可知,相间问题不同于不相邻问题的一个显著特征是问题双方元素的个数只能相等或相差一个,个数相差一个的应先排少的,个数相等的应分情况分析。

总之,比较思维是数学学习中的重要思维方式,它能使学生深化对数学概念的深度理解,提高解题的灵活性和创造性,增强学生思维的批判性能力。因此,教师要将比较思维能力的培养有机地渗透在数学例习题的教学中,使学生自觉地应用它去思考问题和解决问题。

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