十字交叉法应用中的常见问题及解析
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摘要：通过对一道计算题的详细分析，阐明十字交叉法背后代表的二元混合体系所产生的具有平均意义的数值含义，特别是差值比代表的物理量配比含义，提出如何帮助学生掌握快速判断物理量含义的方法。
关键词：十字交叉法；差值比配比含义
文章编号： 1005–6629(2012)5–0063–03 中图分类号： G633.8 文献标识码： B
十字交叉法是一种简化、快速的解题方法，受到广大师生的欢迎。在教学中发现，许多学生对十字交叉法的理解和掌握尚存在问题，尤其是对十字交叉法背后代表的二元混合体系所产生的具有平均意义的数值的计算问题的含义并未理解。于是笔者整理了该题中出现的十字交叉法，并对其进行详细分析。例题和方法见下：
例题：Na2CO3和NaHCO3混合物9.5 g加入稀盐酸，到不再产生气体为止，恰好用去50 g稀盐酸，将生成的气体通入过量的石灰水中，得到沉淀10 g。求：混合物中Na2CO3与NaHCO3各多少克？
此题为典型的二元混合体系计算题，可用多种方法求解。最简单的方法莫过于列二元一次方程组求解，这里不予展开。这里想介绍十字交叉法求解。十字交叉法是二元一次方程组的图解法，是一种能快速方便解题的方法。
1 解法例析
1.1 从平均相对分子质量入手
由方程式可知Na2CO3、NaHCO3与产生的CO2的比例分别为1:1。
根据C元素守恒：n(C)=n(CO2)=0.1 mol，n(Na2CO3)+n(NaHCO3)=0.1 mol
M混= =95 g/mol，Na2CO3摩尔质量106 g/mol，
NaHCO3摩尔质量84 g/mol，化成十字交叉法如下：
Na2CO3 106 11 11 n(Na2CO3) 1
95 = =
NaHCO3 84 11 11 n(NaHCO3） 1
n(Na2CO3)=n(NaHCO3)= =0.05 mol
n(Na2CO3)=0.05×106=5.3 g；
n(NaHCO3)=0.05×84=4.2 g
1.2 求质量差之比
这种方法出错率很高，原因在于学生搞不清楚比值对应的物理量含义。学生的答题思路如下：
假设0.1 mol的CO2全由Na2CO3产生，则需Na2CO3 10.6 g；若全由NaHCO3 产生，则需NaHCO3 8.4 g,现有混合物 9.5 g：
Na2CO3 10.6 1.1
9.5
NaHCO3 8.4 1.1
比值1.1/1.1到底表示什么含义呢？有些学生联想到方法1，认为是碳酸钠和碳酸氢钠之间的摩尔配比，而另外一部分的学生则认为就是他们的质量配比。当然，计算结果肯定大相径庭。按物质的量配比算的结果和方法一致。而按质量配比算的话答案却变成了m(Na2CO3)=m(NaHCO3)=9.5 g/2=4.25 g。显然，方法2错了。质量差的比值怎么变成了物质的量比含义了呢？
1.3 从产物CO2入手
答题思路如下：
假设CO2全由Na2CO3产生，则n(CO2)= mol= mol；假设CO2全由NaHCO3产生，则n(CO2)’=
mol= mol，现有CO2 0.1 mol，
又表示什么呢？部分学生用这种方法解题，却卡在了53/42的含义上，导致后面算错，很是冤枉。如果从答案入手，会发现 = ，也就是说 是碳酸钠和碳酸氢钠之间的质量配比。问题又来了，物质的量差的比值含义怎么和质量比联系在一起呢？
假设CO2全由Na2CO3产生，则m(CO2)= g×44= g；假设CO2，全由NaHCO3产生，则m(CO2)’= g× 4.4 =
NaHCO3产生CO2
虽然比值依然为质量比，但上述方法不同的是它的平均量（4.4）和分量（209/52、209/42）。为什么不同单位的平均量、分量得到的差值比含义会一样？
2 确定比值含义的简单有效的新方法
综上4种方法中提出的疑问：①平均量、分量表示为质量，差值比含义却为分量之间的物质的量配比；②平均量、分量物理量表示为物质的量，差值比含义却为分量之间的质量配比；③ 两种方法中平均量、分量的物理量含义不同，但差值比含义却相同。
这些疑问同样也是学生最大的困惑，正是由于搞不清它们的含义导致后续计算也一并错误。经过潜心研究笔者发现，十字交叉法中比值的含义与平均值分母的物理量具有高度的一致性。也就是说，只要理解平均值的分母单位是什么，该单位就是分量间的配比含义。下面就四种方法展开详细解说。
3 方法详解
方法1：
Na2CO3 106 11
95
NaHCO3 84 11
平均值95的含义：“每摩尔混合物的质量”，分母单位为摩尔，根据分母单位即分量配比的说法，因此11/11为分量碳酸钠与碳酸氢钠之间的物质的量配比。
方法2：
Na2CO3 10.6 1.1
9.5
NaHCO3 8.4 1.1
平均值9.5的含义：“每生成0.1 mol CO2需混合物的质量”，这和“每生成1 mol CO2需混合物的质量”概念一致，分母单位均为摩尔，因此比值1.1/1.1依旧为分量碳酸钠与碳酸氢钠之间的物质的量配比。
方法3：
Na2CO3产生CO2
0.1 =
NaHCO3产生CO2
平均值0.1的含义：“每9.5 g混合物生成0.1 mol CO2”，这和“每克混合物能生成多少摩尔 CO2”的概念一致。分母单位为克，因此比值53/42为分量碳酸钠与碳酸氢钠之间的质量配比。
方法4：
Na2CO3产生CO2
4.4 =
NaHCO3产生CO2
十字交叉法涉及的解题类型非常广泛，除上述例题外凡平均值4.4的含义：“每9.5 g混合物生成4.4 g CO2”，这和“每克混合物能生成多少克 CO2”的概念一致。分母单位为克，因此比值53/42为分量碳酸钠与碳酸氢钠之间的质量配比。
4 其他案例
笔者特意找了时间详细地向学生分析了这道题，学生恍然大悟道个中还有这般讲究。不仅这道题，其他凡是符合双组份、物理量具有加和性的题目均能使用此方法。案例如下：
例1 甲、乙两份硫酸铝，甲中的c(Al3+)=0.25 mol/L，乙中的c(SO42-)=1 mol/L。
将两份溶液混合成硫酸铝的浓度为0.25 mol/L。求甲、乙两种溶液的体积比。（设混合后体积具有加和性）
甲中硫酸铝浓度为0.125 mol/L，乙中硫酸铝浓度为1/3 mol/L,混合后的浓度为0.25 mol/L。应用十字交叉法： 0.125 1/12
0.25 = 1/3 1/8
平均量0.25 mol/L的含义为“每1 L溶液中含有硫酸铝溶质0.25 mol”，分母单位为溶液体积，因此比值2/3为两种硫酸铝溶液的体积分配比。
例2 相邻两种烷烃的混合物20 mL，完全燃烧后生成30 mL的CO2，48 mL的H2O。求该烷烃的可能组合及体积比。
解：现求出该混合物的平均分子式：C的个数为30/20=1.5个，H的个数为48×2/20=4.8个，平均分子式为C1.5H4.8。由于只有甲烷的碳原子数少于1.5，所以肯定有甲烷CH4。另一种烷烃为乙烷C2H6。体积比用十字交叉法解，由平均分子式可知H、C原子个数比为4.8/1.5=3.2，甲烷中原子个数比为4，乙烷中原子个数比为3，化成十字交叉法：
4 0.2
3.2 = 3 0.8
关键点：比值1/4的含义。切不可以为就是甲烷与乙烷的体积比。理由如下：平均值3.2的含义是“混合物中每个C原子对应3.2个H原子”。分母单位为C原子的个数，因此，比值1/4为甲烷和乙烷中C原子的个数配比。等摩尔的甲烷和乙烷中碳原子的个数不相等，为1:2，现又要求C原子个数配比为1:4，很容易就能得出甲烷与乙烷的体积比为1:2。
至此可以发现，正确运用十字交叉法的关键在于读懂平均值的含义（等同于读懂分量含义），根据分母物理量得出比值的配比含义，必要时再根据题意进行转化。但不适用不具加和性的物理量，比如：求混合两种不同pH溶液后的pH。该混合液的pH不是原各溶液pH的简单代数之和，因此不能使用十字交叉法。相信学生们在掌握了判断平均值分母单位这种方法后，在今后应用十字交叉法解题时明显减低错误率。
参考文献：
[1]朱春清.十字交叉法在化学计算中的应用[J]. 化学教学，2011，（5）：61~63.