导数的应用复习谋略

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每年的高考试卷中都有导数应用的题目出现，对导数的考查非常全面，既有选择题、填空题等客观题，又有解答题，且所占分值较高。常见的考查方式有两种：一是直接将导数应用于函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等；二是将导数与函数、方程、不等式、数列等相关联，主要考查函数的最值或求参数的值（或范围）。

一、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤为：（1）求导数f ′（x）；（2）在函数f （x）的定义域内解不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0；（3）根据（2）的结果确定函数f （x）的单调区间。

例1 已知函数f （x） =alnx-ax-3（a∈R）。

（1）求f （x）的单调区间；

（2）若f ′（2）=1，且对于任意的t∈[1，2]，函数g （x） =x3+x2[f ′（x）+]在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围。

解析：（1）f ′（x）=（x＞0）。

当a＞0时，f （x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减；

当a＜0时，f （x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；

当a=0时，f （x）不是单调函数。

（2）由f ′（2）=1得a=-2，所以f （x）=-2lnx+2x-3，f ′（x）=-+2，则g（x）=x3+（+2）x2-2x，故g ′（x）=3x2+（m+4）x-2。

因为g（x）在（t，3）上总不为单调函数，且g ′（0）=-2，则g ′（t）＜0，g ′（3）＞0。

由题意知：对于t∈[1，2]，g ′（t）＜0恒成立。

综上，g ′（1）＜0，g ′（2）＜0，g ′（3）＞0。?圯-＜m＜-9。

二、利用导数研究函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f ′（x）；（3）解方程f ′（x）=0，求出定义域内的所有根；（4）列表检验f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f （x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f （x）在x0处取极小值。

闭区间上函数f （x）的最大值、最小值只能在极值点或端点处取得，具体解决办法是先由导数确定闭区间内的极值点，然后求出各极值点、端点处的函数值，这些值中的最大值就是f （x）的最大值，最小值就是f （x）的最小值。但是要特别注意，所求极值点在所考查的闭区间内才有效。

例2 已知a是实数，f （x）=（x-a）。

（1）求函数f （x）的单调区间；

（2）设g （a）为f （x）在区间[0，2]上的最小值，求g （a）的表达式。

解析：（1）函数的定义域为[0，+∞）， f ′（x）=+=（x＞0）。

若a≤0，则f ′（x）＞0，f （x）的单调递增区间为[0，+∞）。

若a＞0，令f ′（x）=0，得x=。

当0＜x＜时，f ′（x）＜0，f （x）的单调递减区间为[0，]；当x＞时，f ′（x）＞0，单调递增区间为（，+∞）。

（2）若a≤0，f （x）在[0，2]上单调递增，所以g （a）= f （0）=0。

若0＜a＜6，f （x）在[0，]上单调递减，在（，2]上单调递增，所以g （a）=f （）=-。

若a≥6，f （x）在[0，2]上单调递减，所以g （a）=

f （2）=（2-a）。

综上所述，g （a）=0，（a≤0）-，（0＜a＜6）（2-a）。（a≥6）

三、利用导数求参数的范围

根据不等式在某区间上恒成立，求参数的范围时，可先分离参数，然后转化为求函数在区间上的最值问题来解决。

例3 设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f （x）＜c2成立，求c的取值范围。

解析：（1）f ′（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f （x）在x=1及x=2时取得极值，则有f ′（1）=0，f ′（2）=0，

即6+6a+3b=0，24+12a+3b=0。解得a=-3，b=4。

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，f ′（x）=6x2

-18x+12=6（x-1）（x-2）。

当x∈（0，1）时， f ′（x）＞0；

当x∈（1，2）时， f ′（x）＜0；

当x∈（2，3）时， f ′（x）＞0。

所以，当x=1时， f （x）取得极大值f （1）=5+8c。

又f （0）=8c， f （3）=9+8c，则当x∈[0，3]时， f （x）的最大值为f （3）=9+8c。因为对于任意的x∈[0，3]，有f （x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜-1或c＞9。

因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）。

从上面的分析可知，导数的应用中函数求导是一个最基本的知识点，它与方程、不等式等联系非常紧密。教学中，教师要关注知识的内在联系，让学生通过适当分类练习，逐步形成思维能力，从而培养学生运用导数解决问题的意识和能力。

（作者单位：岳阳县职业中专）