双t—Coupla模型定价CDO的讨论
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摘要 本论文讨论了双t-copula模型对CDO定价。比较了 分布的自由度为6，4，3，2.2时的尖峰厚尾性。又通过循环迭代法对不同的自由度得出了每个分券层相应的隐含相关系数，并且用最小二乘法得出了对应于自由度4，3，2.2的隐含相关系数。然后以此来对 定价。最后我们又根据循环迭代法改进了模型，得出了一个精确度高并且具有普遍适用性的Matlab程序，并且用另一实证验证了以上所有的分析与结论。
关键词 cdo 双 模型 相关系数微笑 循环迭代法 最小二乘法
一、 的定价
1.双t-copula模型【2】
双t- 模型假设： 其中， 表示影响所有公司的违约状态的共同因子， 表示只影响第 个公司的违约状态的因子。 服从t分布，且相关独立。
在 给定的条件下： 时刻前，公司违约的概率为： 。
2.CDO每个分券层的定价【2】
假设某个分券层所覆盖的损失范围为 至 ，定义：
据此可以求出：给定因子 值的条件下，在时刻 份额面值的期望值 ； 的预期正常付费的贴现值 ； 份额的收益期望的贴现 以及损失发生时的应计付款 。
对于信用保护的买方而言，份额的价值为 ，根据无套利原理，信用保护买方（或卖方）的期望收益等于期望损失，即
由以上理论基础：在参数 均已知的情况下，用双t-copula模型定价CDO，我们只需讨论 的自由度和相关系数。
二、未知参数讨论
1. 分布自由度的确定
现实情况下违约额的分布具有明显的尖峰厚尾特征，而 分布随着自由度的减小尖峰厚尾现象就越明显。所以模型中我们尽可能取较小的自由度。记 分布 的自由度分别为 ，当 时，将它们记为 。John Hull指出自由度n为4时，双 模型的定价效果很好【1】，本篇论文中，我们分别取自由度为4，3，2.2来比较和讨论双 的定价效果。
2.隐含相关系数
2.1分券层对应的隐含相关系数
实际中，相关系数是未知的，可以由市场报价来求出相关系数，我们用 编程出循环迭代法来求每个分券层的隐含相关系数。
实证1：2004年8月4日的iTraxx EUR 指数份额的市场数据：五个分券层：0-3%，3%-6%，6%-9%，9%-12%，12%-27%的市场报价分别为：27.6%，168bp，70bp，43bp，20bp。参数 ，公司违约强度 ，回收率R=0.4，无风险利率r=0.02， ， 。
图1为不同自由度下的隐含相关系数
图1
由图1自由度为4时隐含相关系数微笑性最小，理论上，可以推测自由度为4时，双 模型的定价效果要比自由度为3和2.2时得出的定价效果要好。
2.2模型中的相关系数的确定
模型假设所有分券层的相关系数相等，在表1的基础上分析求出双 模型中所需的相关系数。使用最小二乘法求隐含相关系数。即：找出合适的 使 最小。其中： ， ， 分别表示模型所求的价格，市场报价。通过程序我们得到：自由度为4，3，2.2时分别对应的最优相关系数值为：0.27，0.278，0.274。
三、双 模型定价
根据以上的双 模型，我们用 编程得出信用衍生产品 的价格：自由度4，3，2.2对应的相关系数分别为0.27，0.278，0.274，对应的五个分券层的定价结果分别为：（26.11，172，70，43，20），（27.58，140，58，39，22），（27.58，107，52，40，29），对应的相对误差平方和分别为：4.4139*10^（-7）， 1.0032^10（-5）， 4.1377*10^（-5）。
由上述数据看出，自由度都为4时，双 模型能够更好地对信用衍生产品 定价，这样就印证了自由度应该取较小的值，但还需根据具体的数据来分析。
1.t-分布自由度的改进和改进后的实证分析
以上的分析建立在自由度已知的情况下，而实际上自由度未知，下面我们将t-分布的自由度以及模型中的相关系数都假设为变量，用Matlab编程找出定价效果更好的参数。
改进后的程序得出的结果：F，Z的自由度分别等于3.64，3.84，相关系数为0.31，相对误差平方和为1.9405*10^（-7）。
事实上，该改进模型的程序对于CDO定价的任何市场数据都适用。
参考文献：
[1] Hull J. White A.Valuation of a CDO and an nth to default CDS without Monte Carlo simulation [J].Journal of Derivatives.2004（2）：8-23.
[2]John C.Hull （著）.王勇，索吾林（译）.期权、期货及其他衍生产品（第七版）.北京：机械工业出版社.2009（1）：379-383.