浅议关系映射反演原则的应用

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摘要:本文从几个方面探讨了关系映射反演原则在日常生活中的应用以及解决数学问题中的可能性问题和不可能性问题。

关键词：RMI原则；可能性问题

关系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）方法（简称RMI方法）是中国学者徐利治教授于1983年首先提出的.它是一种分析处理问题的普遍方法或准则，是属于一般科学方法论范畴的工作原则，这种工作原则包含所研究的问题的关系结构是采取映射和反演两个步骤去解决问题.这种处理问题的过程就已经体现了“关系—映射—反演”的思想，因为从给定的系统（即现实原型）到数学模型的某种对应关系，即可理解为一种“映射”；把模型上得出的理论分析结果（或结论）又返回到现实原型上去，从而给出实际问题的解答，这就是一个“反演”.用框图表示如图1：

图1其主要步骤是：关系映射定映反演得解

一、关系映射反演原则在日常生活中的应用

其实，在日常生活中，人们也经常自觉或不自觉地运用着关系映射反演原则.例1[1] 一个人对着镜子剃胡子，镜子里照出他脸颊上的胡子的映象，从胡子到映象的关系叫作映射.所以，映射就是联系着原象和映象的一种对应关系.他用剃刀修剪胡子时，作为原象的胡子和剃刀两者的关系可以叫作原象关系，这种原象关系在镜子里表现为映象关系.他从镜子里看到这种映象关系后，便能调整剃刀的映象与胡子的映象的关系，于是，他也就真正修剪了胡子.点评:这里显然用到了反演原则，因为他已经根据镜子里的映象能对应地反演为原象的这一原则，使剃刀准确地修剪了真实的胡子（原象）。

二、利用关系映射反演原则分析数学领域中的可能性命题

所谓可能性问题就是能够给出直接答案或证明的问题，在此下面将分别用对数法,万能代换，幂级数变换等作为映射工具的关系映射反演法来解决问题.

1对数法。人们进行庞大数字（所谓“天文数字”）的开方乘方等数值计算时，可应用对数方法.例2[2] 求2.313×572的值.计算的各个过程可以用如下图2表示：图2点评：在这个例子中，映射方法选取得非常成功，实质上抓住了指数运算与真数运算的对应（映射与反演的关系），把后者的计算问题转化为前者的计算（把乘法转化为加法，把开方根计算转化为简单的除法或分数乘法），从而大大的提高了计算效率.

2.万能代换求积分。例3[3] 求积分∫1+sinxsinx(1+cosx)dx.解 令 t=tanx2,则x=2arctantdx=21+t2dt,sinx=2t1+t2,cosx=1－t21+t2 则∫1+sinxsinx(1+cosx)dx=∫(1+t)2(1+t2)4t21+t2dt=12∫(1+t)2tdt=12∫(1t+2+t)dt=12(ln|t|+2t+t22)+c=12tan2x2+tanx2+12ln|tanx2|+c该类题的解题过程如图6：图3点评：中学数学中初步形成一个处理初等函数的方法体系,也就是在这个系统中,已经有了一整套确定未知目标的方法,在系统中容易定映,把一个关系系统映射为函数系统,就成了一种重要的中学数学方法.

3.幂级数变换求解差分方程。微积分学中寻求某些幂级数的和函数问题，也往往可根据关系映射反演原则（简称RMI原则）来获得解决.例4 [4] 求幂级数f(x)=x21?2－x32?3+x43?4－???+(－1)nxn(n－1)?n+???的和函数.分析 f(x)即未知原象，和函数实质上已被上述幂级数所确定，所以幂级数与f(x)的相等关系便是原象关系.我们知道幂级数在它的收敛区域内可以逐项积分和逐项求微商.解 有如下映射，即 D：fDfddxf(x)于是有 f′(x)=x－x22+x33－???+(－1)n－1xnn+???=lg(1+x)对上式两边积分得∫x0f′(t)dt=∫x0lg(1+t)dt从而有 f(x)－f(0)=∫x0lg(1+t)dt=(1+x)lg(1+x)－x又因 f(0)=0 故有 f(x)=(1+x)lg(1+x)－x点评 应用RMI原则去处理数学问题时，关键是如何选取合适的映射，只有当映射选得正确，才能使问题迎刃而解.幂级数变换是近代组合数学及概率统计中应用较广的一种变换方法，此法主要功能是：要研究或找出有关离散数列{an}的结构特征，先利用这个数列作为系数构造一个幂级数，然后利用幂级数的特点反回来确定其系数的结构。

三、总结

综上所述，使用RMI原则处理问题关键是找到合理恰当的映射，一个人寻求映射的能力至少包括五个方面：一是理解原象关系结构系统（现实原型）的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法和手段的能力；五是寻求反演公式的能力.而做到这一点又必须拥有大量的知识且融会贯通，也就是说如何寻求映射又是一个值得思考的问题.其实，RMI方法着眼于方法上的转化与作用上的逆转的结合，是具有很深刻的方法论意义的一种方法原则.数学史表明，一个新的数学学科的出现，往往与方法上的突破或向新方法转化密切相关.所以，运用RMI方法在新理论的创造、产生方面常常起到重要的作用。

参考文献：

［1］徐利治，数学方法论选讲［M］；华中工学院出版社；1983

［2］赵振，威中学数学教材教法［M］；华东师范大学出版社；2000 

［3］ 赵振，威数学发现导论［M］安徽教育出版社；1993 

［4］黄翔，数学方法论选论［M］；重庆大学出版社； 1995