构造数学模型,巧解三角问题

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三角问题包括三角公式、三角函数、解三角形等内容，是高中数学重要考试内容之一。在解答三角问题中，经常遇到一类运算量大而且计算繁琐的习题，学生在计算时经常有畏难的情绪，结果不是计算不出来便是计算错误。有时为了避免繁琐的计算，若能从题目所给条件中抓住其本质特征，构造数学模型，其解答过程就变得简单、快捷、准确，往往能收到很好的效果。构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，没有固定的模式。在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。下面举例说明。

1.构造直角三角形

例1.设x∈［，］，求证：cscx-ctgx≥-1。

分析：由、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。

证明：作RtABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一点D，记∠CDB=x，则BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB=，可得cscx-ctgx≥-1，等号仅在x=时成立。

2.构造单位圆

例2.若0＜β＜α＜，求证：α-β＜tgα-tgβ。

分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。

证明：作单位圆O，AP=β，AP=α，PP=α-β，AT=tgβ，AT=tgα，S=tgα，S=tgβ。

由于S=α，S=β，

S=（α-β），S=tgα-tgβ，

则S＞S，

即（α-β）＜（tgα－tgβ），所以α-β＜tgα-tgβ。

3.构造相似三角形

例3.在ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c，∠C-∠A=90°，求sinA∶sinB∶sinC的值。

分析：由∠C-∠A=90°可想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。

解：在ABC中，在AB上取一点D，满足∠ACD=90°，可得∠BCD=∠A，ABC∽CBD，得y=，x=。

在RtABD中，（c-y）=x+b，又2b=a+c，

即得3a-8ac+3c=0，解得a=c，

又b=（a+c）=c，所以a∶b∶c=c∶c∶c，

得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=（-1）∶∶（+1）。

4.构造几何图形

例4.化简：tg67°30′-tg22°30′

分析：该题无从直接下手，考虑到22°30′是45°的一半，并且与67°30′互余，可构造等腰直角三角形。

解：如图，作等腰RtABC，∠C为直角，

作∠BAC的平分线AD，交BC于D，则∠DAC=22°30′，∠ADC=67°30′，且=。

设AC=BC=1，则AB=，故=?圯CD=-1，

则tg67°30′-tg22°30′=-=--1=2。

5.构造对偶式

例5.求值：sin6°sin42°sin66°sin78°

解：设M=sin6°sin42°sin66°sin78°，构造N=cos6°cos42°cos66°cos78°，

则MN=sin12°sin84°sin132°sin156°=cos78°cos6°cos42°cos66°=N，

约去N，得M=，即sin6°sin42°sin66°sin78°=.

6.构造数列

例6.已知sinA+cosA=，A∈（0，π），求tanA。

分析：利用两个函数的和为定值可以构造等差数列。

解：sinA+cosA==2×，sinA、、cosA成等差数列，设公差为d，

则sinA=-d，cosA=+d.

sinA+cosA=1，知d=±（d=舍去），

当d=-，sinA=，cosA=-，

tanA=-.

7.构造方程

例7.在ABC中，求证：cosAcosBcosC≤。

分析：证明或者解三角不等式可以构造方程，运用方程的有解的条件及三角函数的有界性进行合适的转化来进行。

证明：设y=cosAcosBcosC，

则：2y=2cosAcosBcosC=［cos（A+B）+cos（A-B）］cosC=［-cosC+cos（A-B）］cosC

整理得：cosC-cos（A-B）cosC+2y=0，这可视为关于cosC的一元二次方程。

∠C为ABC的内角，cosC为实数，=cos（A-B）-8y≥0，

则8y≤cos（A-B）≤1，得y≤，即：cosAcosBcosC≤。

8.构造函数表达式

例8.已知x、y∈［-，］，a∈R，且x+sinx-2a=04y+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）。

分析：由x+sinx与2（4y+sinycosy），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。

解：设f（t）=t+sint，t∈［-，］，易证f（t）在［-，］上为单调递增。又题中条件变为f（x）-2a=0f（-2y）-2a=0，得f（x）=f（-2y），所以x=-2y，cos（x+2y）=1。

构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的构造绝不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果。上述所列举的各类思维构造，仅是对构造形式的区分，旨在通过揭示构造法思维方式，教会学生如何去构造。

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