江苏省高考数学模拟试卷(3)

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知全集U=R，集合A=(－∞,0)，B=｛－1,－3,a｝，若(CUA)∩B≠，则实数a的取值范围是_________．

2．若(x+i)2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为__________．

3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在［2000,3500)范围内的人数为__________．

i1

While i

ii+2

S2i+3

End While

Print S

4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为_________．

5．已知a,b∈{1,2,3,4,5,6}，直线l1:x－2y－1=0,l2:ax+by－1=0,则直线l1l2的概率为 ．

6．设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为3，则其表面积等于__________．

7．如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为__________．

8．在ABC中，若AB・AC=AB・CB=2，则边AB的长等于__________．

9．已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于__________．

10．若函数f(x)=13x3－x在(a,10-a2)上有最小值，则实数a的取值范围是__________．

11．若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是__________．

12．定义在R上的f(x)，满足f(m+n2)=f(m)+2［f(n)］2,m,n∈R,且f(1)≠0，则f(2012)的值为__________．

13．已知函数f(x)=x+12,x∈［0,12)2x－1,x∈［12,2) 若存在x1,x2，当0≤x1

14．设数列{an}是首项为0的递增数列，（n∈N），fn(x)=|sin1n(x－an)|,x∈［an,an+1］,满足：对于任意的b∈［0,1),fn(x)=b总有两个不同的根,则数列{an}的通项公式为__________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．

15．已知向量＝（3sinx4，1），＝（cosx4，cos2x4），f（x）＝・．

（1）若f(x)=1，求cos(2π3－x)的值；

（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+12c=b，求函数f(B)的取值范围．

16．如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°，E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CGC1G．

（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：平面BEF平面A1C1G．

17．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1=4x+4；若在t(t>4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为a(t+4)2(a

（1）若a=－1,t=5，求“二次最佳时机点”；

（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

18．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A,B两点，MF1F2的面积为4，ABF2的周长为82．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1,PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

19．已知函数f(x)=(ax2+x)ex，其中ｅ是自然数的底数，a∈R．

（1）当a0；

（2）当a=0时，求整数ｋ的所有值，使方程f(x)=x+2在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若f(x)在［－１，１］上是单调增函数，求a的取值范围．

20．设数列{an}、{bn}满足a1=12,

2nan+1=(n+1)an

且bn=ln(1+an)+12a2n,n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对一切n∈N，证明：2bn－a2n

（3）记数列{a2n}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,证明:2Bn－An

附 加 题

（考试时间30分钟，试卷满分40分）

21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．

A．选修4―1 几何证明选讲

如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（1）∠AED=∠AFD；

（2）AB2=BE・BD-AE・AC．

B.选修4―2 矩阵与变换

若点A（２，２）在矩阵M=cosα－sinαsinαcosα对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵．

C.选修4―4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ－3=0上的动点， B为直线ρcosθ+ρsinθ－7=0上的动点，求AB的最小值．

D.选修4―5:不等式选讲

已知m,n是正数，证明：m3n+n3m≥m2+n2．

22．如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成

的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）

（１）求P(X≥12)；

（２）求E（X）．

23．已知抛物线C1:y=x2，圆C2:x2+(y－4)2=1的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

参考答案

一、填空题

1. a≥0; 2. 0; 3. 700; 4. 21; 5. 112;

6. 93; 7. 13; 8. 2; 9. 33; 10. -2≤a

11. 2

14. an=n(n-1)π2

二、解答题

15.解：（1)f(x)=・=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+12cosx2+12=sin(x2+π6)+12,而f(x)=1,sin(x2+π6)=12

又2π3-x=π-2(x2+π6),

cos(2π3-x)=-cos2(x2+π6)=-1+2sin2(x2+π6)=-12

(2)acosC+12c=b,a・a2+b2-c22ab+12c=b,即b2+c2-a2=bc,cosA=12.

又A∈(0,π),A=π3

又0

f(B)∈(1,32).

16．证:（Ⅰ）连接AG交BE于D,连接DF,EG．

E,G分别是AA1,BB1的中点，AE∥BG且AE=BG,四边形AEGB是矩形．

D是AG的中点

又F是AC的中点,DF∥CG

则由DF面BEF,CG面ＢＥＦ,得CG∥面BEF

（注:利用面面平行来证明的,类似给分）

(Ⅱ)在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C底面A1B1C1，C1CA1C1.

又∠A1C1B1=∠ACB=90°,即C1B1A1C1,A1C1面B1C1CB

而CG面B1C1CB,A1C1CG

又CGC1G,由（Ⅰ）DF∥CG,A1C1DF,DFC1G

DF平面A1C1G

又DF平面BEF,平面BEF平面A1C1G.

17．设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，

由题意知，y2=a(t+4)2(x－t)+8t+4(t>4)

所以y=y2－y1=a(t+4)2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)

(1)当a=－1,t=5时，

y=－1(5+4)2(x－5)+85+4－4x+4=－(x+4)81－4x+4+1≤－2481+1=59，

当且仅当 x=14 时取等号，

所以“二次复习最佳时机点”为第14天．

（2)y=a(t+4)2(x-t)+8t+4-4x+4=--a(x+4)(t+4)2-4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)2≤-2-4a(t+4)2+8-at+4,

当且仅当-a(x+4)(t+4)2=4x+4即x=2-a(t+4)-4时取等号，

由题意2-a(t+4)-4>t,所以-4

注：使用求导方法可以得到相应得分.

18．（Ⅰ） 由题意知：12×2c×b=4,bc=4,4a=82，a=22,解得b=c=2

椭圆的方程为x28+y24=1

（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点P(x0,y0)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线PF1,PF2的距离相等,F1(-2,0),F2(2,0)

PF1:(x0-2)y-y0x+2y0=0

PF2：(x0+2)y-y0x-2y0=0

d1=|y0|(x0-2)2+y20=|3y0|(x0+2)2+y20=d2

化简整理得：8x20-40x0+32+8y20=0

P点在椭圆上，x20+2y20=8

解得：x0=2或x0=8（舍）

x0=2时，y0=±2,r=1，

椭圆上存在点P，其坐标为(2,2)或(2,-2)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆(x-1)2+y2=1相切

19．（１）因为ex>0，所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0，

又因为a

所以不等式f(x)>0的解集为(0,－1a)．

（２）当a=0时, 方程即为xex=x+2，由于ex>0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等价于ex－2x－1=0，令h(x)=ex－2x－1，

因为h′(x)=ex+2x2>0对于x∈(－∞,0)∪(0,+∞)恒成立，

所以h(x)在(－∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数，

又h(1)=e－30，h(－3)=e－3－130，

所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间［1，2］和［－3，－2］上，

所以整数k的所有值为｛－3,1｝．

（３）f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=［ax2+(2a+1)x+1］ex，

①当a=0时，f′(x)=(x+1)ex，f′(x)≥0在［－1，1］上恒成立，当且仅当x=－1时

取等号，故a=0符合要求；

②当a≠0时，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因为Δ=(2a+1)2－4a=4a2+1>0，

所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，

因此f(x)有极大值又有极小值．

若a>0，因为g(－1)・g(0)=－a

故f(x)在［－1，1］上不单调．

若a0>x2，

因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在［－1，1］上单调，因为g(0)=1>0，

必须满足g(1)≥0,g(－1)≥0. 即3a+2≥0,－a≥0. 所以－23≤a

综上可知，a的取值范围是［－23,0］．

20．解：（1）2nan+1=(n+1)anan+1n+1=12・ann

数列{ann}是以a11=12，以12为公比

ann=12・(12)n－1－12n

an=n2n

(2)证明：2bn

bn-12a2n-an

构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0)当x>0时，f′(x)=11+x-1=-x1+x

f(x)在x∈［0,+∞)内为减函数，当x>0时，f(x)

ln(1+x)0),注意到an>0,

ln(1+an)

（3）证明：2bn-a2n=2ln(1+an)

2Bn-An=2(b1+b2+…+bn)-(a21+a22+…+a2n)

由(2)可知2Bn-An=(2b1-a21)+(2b2-a22)+…+(2bn-a2n)

2Bn-An

附加题参考答案

21A

证明：(1)连结AD．

因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°．

又EFAB，∠EFA=90°，

则A、D、E、F四点共圆，

∠DEA=∠DFA．

(2)由(1)知， BD・BE=BA・BF．

连结BC，显然ABC∽AEF，

ABAE=ACAF，即AB・AF=AE・AC，

BE・BD-AE・AC=BA・BF-AB・AF=AB(BF-AF)=AB2．

21B 由题意知，M22=－22，即2cosα－2sinα2sinα+2cosα =－22，

所以cosα－sinα=－1,sinα+cosα=1,解得cosα=0,sinα=1. 所以M=0－110．

由M－1M=1001，解得M－1=01－10．

另解：矩阵M的行列式|M|=01－10=1≠0，所以M－1=01－10．

21C 圆方程为(x+1)2+y2=4，圆心(－1,0)，直线方程为x+y－7=0，

圆心到直线的距离d=|－1－7|2=42，所以(AB)min=42－2．

21D解：m3n+n3m－m2－n2=m3－n3n+n3－m3m=(m3－n3)(m－n)nm

=(m－n)2(m2+mn+n2)mn,又m,n均为正数， m3n+n3m≥m2+n2.

２２．(1)从六点中任取三个不同的点共有C36＝20个基本事件，

事件“X≥12”所含基本事件有２×３＋１＝７，

从而P(X≥12)=720.

（2）X的分布列为：

X014121

P3201020620120

则E(X)=0×320+14×1020+12×620+1×120=1340.

答：P(X≥12)=720,E(X)=1340.

23．（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： y=－14,

所以圆心M（0，4）到准线的距离是174.

（II）解：设P(x0,x20),A(x1,x21),B(x2,x22)，

则题意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2，

设过点P的圆C2的切线方程为y－x20=k(x－x0)，

即y=kx－kx0+x20 ①

则|kx0+4－x20|1+k2=1,

即(x20－1)k2+2x0(4－x20)k+(x20－4)2－1=0，

设PA，PB的斜率为k1,k2(k1≠k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以

k1+k2=2x0(x20－4)x20－1,k1k2=(x20－4)2－1x20－1.

将①代入y=x2得x2－kx+kx0－x20=0,

由于x0是此方程的根，

故x1=k1－x0,x2=k2－x0，所以

kAB=x21－x22x1－x2=x1+x2=k1+k2－2x0=2x0(x20－4)x20－1－2x0,kMP=x20－4x0.

由MPAB，得kAB・kMP=(2x0(x20－4)x20－1－2x0)・(x20－4x0)=－1，

解得x20=235,

即点P的坐标为(±235,235)，

所以直线l的方程为y=±3115115x+4.