数学在物理中应用的误区
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中学物理，尤其是高中的物理，已经从初中的定性的研究物理规律为主，过渡到了高中的以定量研究为主.为更好的分析和理解相关的物理学规律，常用的数学方法有两种：解析式法和图象法.但是数学和物理学有很多的共同点，又有本质的区别，数学是在考虑对象中产生的，然而又脱离了对象，又可以说是思想的想象和理想的产物，而不必非得是事实；而物理学却不同，“物理”一词的最先出自希腊文φυσικ，原意是指自然，古时欧洲人称呼物理学作“自然哲学”，从最广泛的意义上来说即是研究大自然现象及规律的学问.汉语、日语中“物理”一词起自于明末清初科学家方以智的百科全书式著作《物理小识》，是取“格物致理”四字的简称，即考察事物的形态和变化，总结研究它们的规律的意思.简单来讲，物理研究的对象是客观存在的事物，物理规律也要符合事实.本文将浅谈几个常以数学化的方法来对待的物理问题，分析可能出现的误区，使数学方法更好的应用于物理的问题.
用物理图象来表示物理规律有形象、直观的优点.许多抽象的概念用物理图象表示更加的形象化，便于学生理解，同时也可以培养学生的探究能力和解题的技巧.因此，正确的应用图象解决物理问题显的格外重要.
1.1误区一：对于图象中斜率的应用
例1如图1所示为A、B两个物体沿直线运动的速度―时间图象，从图中我们可以看出
A.A、B两个物体的初速度相同
B.A物体的加速度大于B物体的加速度
C.A物体的加速度小于B物体的加速度
D.如果图象中的直线与时间轴的夹角分别是θ1与θ2表示，那么A、B两个物体的加速度就可以用夹角的正切值表示，即a1=tanθ1，a2=tanθ2
错误解析由图1中可以很清楚的看出A、B两物体的初速度为都为零，选项A正确；加速度表示物体速度变化变慢的物理量，图线的斜率表示表示物体的加速度，同时斜率k=tanθ，所以选取项C、D也正确.
误区分析我们先来看一下数学上对斜率的定义，以及斜率与直线与横轴的夹角的正切值的关系.斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度.一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率.如图2所示，斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是：k=y2-y11x2-x1，同时k=tanθ.在物理学中加速度为描述速度变化快慢的物理量，定义式为；a=v2-v11t2-t1，从这一点上来看说，k=a=tanθ，好像是无可厚非，理所当然的事情.但是我们忽略了一个问题，数学上的角函数的定义，tanθ=P2Q1P1Q，是长度的比值，是在两个坐标轴的单位都为1的情况下的比值.而物理学中的纵横坐标是有一定的物理的意思，在一般情况下单位是不同的，就算同样都是v-t图象，量度的选取也可以是不同的.如图3和图4所示，两图中速度-时间图线与时间轴的夹角都是45度，从数学上来讲，斜率都是k=tanθ=1，但是从物理上来看加速度分别为a1=10 m/s2，a2=1 m/s2，斜率k并不一定与加速度相等.由此可以看出，在速度时间的图象中，用直线的斜率来比较加速度的大小是完全没有问题的，但是说用直线与时间轴的夹角的正切值来表示加速度的大小是完全的将物理学的问题数学化，是行不通的.
在物理学中像这样在速度-时间图象来表示加速度大小和变化的图象有很多，比如位移-时间图象来表示速度的变化情况；电阻的伏安特性曲线中来看电阻的变化情况等等很多，在享受用图象分析给我们带来的简便的同时，还在注意在物理上和数学上的本质的区别.
1.2误区二：图象的交点并不表示相等
如图5所示，为同时同地出发的A，B两个物体的速度―时间图象，从数学的角度来分析，只能分析得到在t1时刻，A与B两个物体的速度相同，而不表示两个物体相遇.在物理学中，此图中图线与时间轴所围成的图形的面积表示物体在一段时间内的位移大小，当然在计算面积的时候一定要加注意物理量的单位，而不是简单的数学的长度的计算.从图上，利用数学的知识可以知道在t=2t1时，A与B两个物体的位移相等.像这样的图象，用图线与横轴所包围的面积来表示某一个物理量，在物理学中有很多，比如：力与位移的图象中，图线与位移轴所包围的“面积”来表示做功的大小，在计算和比较变力做功时非常的方便；还有力与时间的图像中的“面积”大小表示冲量的大小；速度的倒数和位移的图象中的“面积”大小表示时间的多少等等.
2解析式法在物理中应用的误区
解决物理问题最常用的方法是解析式法，可以定量地去分析物理量之间的大小变化关系，是解决物理问题必不可少的数学工具.但是数学具有抽象性和可能脱离实际的物理问题而单独存在，常常会把物理问题数学化.
2.1误区一：物理当中没有无穷大
例2对于库仑定律，下列说法正确的是
A.凡计算两个点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F=kQ1Q21r2
B.两个带电小球相距非常近时，也能用库仑定律
C.相互作用的两个点电荷，不论它们的电量是否相同，所受的库仑力大小一定相等
D.当两个带电小球之间的距离r趋于零时，它们之间的力趋于无穷大
错误解析库仑定律应用条件为真空中的两个点电荷，当两个带电小球相距非常近时，则不能把它们看成点电荷，所以A，B选项错误；两个带电小球之间的力为相互作用力，大小相等，方向相反，作用在两个物体上，所以C选项正确；从公式上来看，力F与r2成反比，当r 趋近于零时，F必将趋于无穷大，所以D选项正确.
误区分析上述对前三个选项的分析并无异议，下面将详细地讨论一下D选项.从数学的角度来看，力F与r2确实成反比，当r 趋近于零时，F必将趋于无穷大，这样的分析看似非常的严密，但这样一来的话就成了纯数学的问题了，脱离了我们要讨论的物理学问题.上面的分析中已经提到，公式的应用条件为真空间两个点电荷，对于点电荷的还要从物理中来理解，点电荷是一个物理模型，实际上并不存在，任何带电体都是有大小的，关键的问题是这个带电体在什么样的情况下可以看成是点电荷，这个条件是，只要带电体本身的大小跟它们之间的距离相比可以忽略，带电体就可以看作点电荷.当两个带电体之间的距离很小时，带电体就不能够看成点电荷，计算的公式也就不能再用了.另外库定律的公式是在牛顿定律的基础理论建立的，属经典力学的范畴，只能适用于经典范畴，如果有两个带电体的尺度很小，比如说电子，当两个电子相距很近时，也许已经过入了微观世界，已不是只能用于低速和宏观世界的经典力学的所能够解决的了.所以D选项是不正确的.
2.2误区二：不存在正、反比关系的物理量
例3下列关于电容器和电容的说法中，正确的是
A.根据C=Q/U可知，电容器的电容与其带的电量成正比，根两极板间的电压成反比
B.对于确定的电容器，其带电量与两板间的电压成正比
C.无论电容器的电压如何变化（小于击穿电压且不为零），它的电量与电压的比值恒定不变
D.电容器的电容是表示电容器的容纳电荷的本领的物理量，其大小与加在两板的电压无关
错误解析在物理中电容的表达式为C=Q/U，所以电容的大小，与电荷量Q成正比，与电压U成反比.所以A正确.
误区分析一个电容器所带电荷量Q与电容器两极板的电压的成正比，比值Q/U是一个常量，定义为电容来表征了电容器储存电荷的特性.公式C=Q/U是电容大小的定义式，而不是决定式C=εS/4πkd，电容本身的大小与两极板的相对面积S成正比，与电介质常数ε成正比，与两极板间的距离d成反比.而与电容的极板是否带电，带多少电荷无关.所以正确的答案是B、C、D.
物理学中用比值定义的物理量有很多，比如电阻的定义式为R=U/I，电阻的大小与电阻两端的电压和通过电阻中的电流的大小与有无电压和电流无关，是导体的自身的性质；电场中电场强度的定义式E=F/q；电势的定义式为φ=Ep/q，密度的定义式为ρ=m/V等等，这些物理量都反应了物质的某一特性，与定义式中的其它的物理量无关.
物理学来源于生活，又应用于生活，物理的规律是世间万物的存在及其运动的规律，处理问题的方法有很多，而用到的数学方法是在考虑对象中产生的，又可以脱离了对象.从以上分析可以看到，如果以数学化的方法来对待物理，显然是不合适的.只有把数学同物理的实际结合起来处理问题才是最完美的.不管我们用什么方法来处理问题，物体运动的规律是不会发生变化.