从特殊到一般

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一、问题的提出

【例1】甲乙两枚大小相等的硬币。现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？

当时很多人认为硬币乙旋转了1圈，但如果我们亲自拿硬币做个试验，就会发现：硬币乙竟然旋转了2圈。

实际结果怎么会跟我们想象的不一样？因为我们将非常熟悉物体在直线上滚动的规律运用到物体在圆周上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。那应该如何理解硬币乙旋转了2圈呢？

预备定理：一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。”

证明：如图2，圆和直线l相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A′点，这时圆心所经过路径长度为线段OO′的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA′的长度，这两个长度是一样的。

事实上，因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于例1，可以这样去理解：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙硬币把甲硬币的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆。如图3，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙滚动过的距离也等于2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为2πr（本圆的周长）。这里R=2r，所以2πR是2πr的2倍，即硬币乙一共旋转了2圈。

因此，只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，就得到物体所旋转的圈数。

推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+R乙）÷（2πR乙）=（R甲 + R乙）÷R乙=+1。

二、思考

事物是普遍联系的，我们不妨用由以上结论来类比出其他一些平面图形旋转圈数的规律，并以合情推理的思想给出证明。我们知道圆从极限角度来看是一个正无穷边形，它属于正多边形的范畴，于是对上面的结论做进一步推广。

1.圆在一个凸多边形上滚动的圈数

【例2】如图4，三角形ABC的周长为9.42厘米，现有一个直径为1厘米的圆从A点开始沿着三角形的边（圆和三角形的边始终相切）作无滑动的滚动，当圆这样滚动一周再回到原来位置时，这个圆自己旋转了几圈？

解析：首先观察这个圆的圆心的轨迹。因为这个圆是从A点开始滚动的，所以一开始圆就和三角形的边AB相切于A点。当这个圆从A点滚动到B点时，圆就和三角形的边AB相切于B点，这时圆心经过轨迹的长度就是线段AB的长度，如图4-1。

然后这个圆还要滚动经过B点，使圆和BC这条边相切于B点。在这个过程中圆心的轨迹是怎样的呢？如图4-2，圆心的轨迹是“以B点为圆心，OB为半径，∠OBO′为圆心角的一段圆弧”。这儿∠OBA+∠ABC+∠O′BC+∠O′BO=360°，而∠OBA=∠O′BC=90°，所以∠ABC+∠OBO′=180°， 即∠OBO′的度数和∠ABC的外角度数是一样的。所以这段圆弧的弧长为×2πr。

以此类推，当这个圆从B点滚动到C点时，圆心经过轨迹的长度就是线段BC的长度，滚动经过C点和三角形的边AC相切于C点时，圆心轨迹为“以C点为圆心，OC为半径，∠C的外角为圆心角的一段圆弧”。这段圆弧的弧长为×2πr。这个圆从C点滚动到A点时，圆心经过轨迹的长度就是线段CA的长度，最后滚动经过A点回到原来位置时，圆心轨迹的长度为×2πr。

那么这个圆沿三角形的外侧作无滑动的滚动一周，最后再回到A点时，圆心经过轨迹的长度为“线段AB+BC+CA+×2πr+×2πr+×2πr= 三角形ABC的周长+（++）×2πr。而三角形的外角和为360°，所以（++）×2πr=×2πr=2πr。所以圆心轨迹的长度一共为（9.42+2πr），而这个圆滚动一周经过的长度为2πr，根据上面的预备定律，那么这个圆共旋转了（9.42+3.14）÷3.14=3+1=4（圈）。

简单地说，就是这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过三角形的外面一周外，还旋转了三角形的外角360度，而任何物体旋转360度就是旋转了1圈，所以这个圆一共旋转了（+1）圈。

那么当这个圆在一个任意凸多边形上滚动一周时，这个圆又要旋转几圈呢？其实道理是一样的。

【例3】如图5所示，O沿着凸n边形A1 A2 A3…An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。

（1）当O和凸n边形的周长相等时，证明：O自身转动了两圈；

（2）当O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时O自身转动的圈数。

解析：（1）证明：这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过这个凸n边形的周长外，还旋转了凸n边形的外角，而任何一个凸n边形的外角都是360度，所以这个圆旋转了（+1）＝2圈。

（2）这里凸n边形的周长=a，圆本身的周长=b，所以圆旋转的圈数=+1。

结论：从上面两个例题可以看出，当一个圆在一个凸多边形的外侧上做无滑动的滚动一周时，这个圆自己旋转的圈数=凸多边形的周长÷圆的周长+1。

2.一个正凸多边形在另一个正凸多边形上的旋转圈数

【例4】如图6，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半。如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么这个过程中线段OA绕O点旋转了几圈？