初中生数学学习方法与数学建模的运用

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摘要：在长期的课堂教学实践中，作者一点一点地渗透数学学习方法与建模思想，取得了良好的教学效果。

关键词：初中数学教学；数学学习方法；数学建模

初中生的思维已经开始逐步以抽象逻辑思维为主导方式，但思维中的具体形象成分还是会起到决定性的作用。一方面，初中生的思维经常受到具体形象成分的影响，对许多问题的理解和剖析还是会习惯性地关注表面的直接关系，或者难以突破感观经验的限制而达到对现象本质的了解。另一方面，初中生一般求知欲旺盛，好奇心强，兴趣广泛，思维活跃，想象奇特而丰富；也是由于思维太活跃，有很大一部分学生的注意力不容易集中，上课经常开小差。

在教学中，我经常有意识地讲些同学们喜闻乐见的事引起同学们的注意力，把学生的思想唤回课堂上来；同时注意培养学生的自学能力，注重激发学生学习数学的兴趣，重视对学生学习方法的指导，注意引导学生如何去学习数学，逐步掌握学习数学的一些基本方法。

在课堂上，首先明确本节课的学习要求，然后引导学生如何去“听”课，其包括以下几个方面。一是引导学生学会“看”，就是上课要注意观察教师解答题目时的书写格式，如何才能写出既简单明了又能说明问题的解答过程。二是引导学生学会“听”，即指学生直接用感官接受知识时，应让学生在听的过程中明确每节课的学习目的和学习要求，懂得知识的形成过程，理解教师对新课的重点、难点的剖析（尤其是预习中的疑问），听例题解法的思路及应用了什么数学思想方法。三是引导学生善“思”，即指学生会并勤于思考问题。没有思考，就发挥不了学生的主体作用。在课堂上对于老师（或同学）的讲解，学生不能仅仅是听得懂，还要经常思考为什么可以这样做。四是引导学生学会“记”，即记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的或大家总结出来的规律性的知识内容。最后是要做好课后复习。

我在长期课堂教学实践中，一点一滴地渗透这些学习方法，取得了良好的教学效果。例如在进行人教版九年级下“实际问题与二次函数”的探究1的教学时，事先让学生进行了课前预习，教师进行学习方法的引导，学习效果很好。

探究1：某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

这是一个求最值的问题，需要建立数学模型才能解决这个商业活动中经常遇到的问题。考虑到学生的实际学习情况是：学生知道售价、进价的意思，懂得涨价和降价的含义；学生的原有知识有：利润=总售价-总成本，学习过二次函数的图像和性质，以及不等式组的解法和应用。但是探究1中涉及的量较多，而我们班的学生又是经过几次筛选后留下来的学习有困难的学生，有相当一部分学生在阅读题目时是看了后面忘了前面。基于这种学习情况，学生们一起制订了预习的计划和目标：1）复习原有的相关知识，例如二次函数的图像和性质，利润的计算方法，以及成本、销售价等概念，不等式组；2）仔细阅读题目，对一些重要的或是难理解的关键字、词要反复推敲，找出题目中的所有已知量；3）明确题目要解决的问题是什么；4）要弄清有几个变量，是哪个变量随着哪个变量的变化而变化；5）找出等量关系。

用两个问题来引入课题：

问题1：某商场的一个品牌的衣服售价是每件60元，进价是每件40元，问这个品牌的衣服每件利润是多少元？

问题2：某商场购进长虹彩电20台，每台进价是1200元，按每台1450元销售，结果全部卖出，这个商场卖彩电盈利多少元？

问题简单，学生很容易得到结果，他们怀着成功的喜悦进入课程学习，课堂气氛一下子就活跃起来。出示探究1的题目，采用填空的形式把难点分散开来对问题进行分析、讨论。

（1）涨价情况：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，则每星期售出商品的利润y随x的变化而变化。因此， 是 的函数。当涨价x元时，每星期少卖 件，实际卖出商品 件；涨价前每件商品利润是 元，实际每件商品利润是 元，实际共获得的利润是 元。自变量x可以是任意实数吗？如果不是，怎样求出x的取值范围？

通过把探究1的难点分解，题目的难度大大降低，由于学生都进行课前预习，这些空大部分学生都能填准确，连平时最懒得思考的同学也能填对几个空。课后有学生感叹说：老师，我觉得这节课的内容很容易学习和掌握，很简单。

求自变量的取值范围是个难点，学生往往得出“0≤x”后就以为完成了对x的取值范围的确定。通过对实际卖出（300-10x）是否可以是负数进行讨论后，大家一致认为商品件数不能是负数，得到300-10x≥0，因此x≤30，由于0≤x与x≤30要同时成立，因此取其公共部分得：0≤x≤30。

设每件商品涨价x元，每星期售出商品的利润是y元，则y=（20+x）（300-10x）（0≤x≤30）。即：y=-10x■+100x+600=-10（x-5）■+850，所以当x= 时，y有最大值，是 。即当涨价 元，定价为 元时，利润最大，最大利润是 元。

在降价的情况下，最大利润是多少？请同学们参考（1）的讨论自己找出答案。我走到学生当中，巡视了一遍，看到绝大部分学生都能模仿涨价时的讨论方法进行填空。

（2）降价情况：设每件降价m元，每星期售出商品的利润P元，每星期售出商品的利润P随m的变化而变化，则 是 函数，当降价m元时，每星期多卖 件，实际卖出商品 件；降价前每件商品利润是 元，实际每件商品利润是 元，实际共获得利润是 元。最后得出降价时每星期的总利润与降价金额的函数关系，完成了从具体到抽象的概括过程，建立了数学模型。这样，学生的数学应用意识得到加强，分析问题和解决问题的能力得到提高，数学思维能力得到发展。学生板书如下：

设每件降价m元，每星期售出商品利润是P元，则P=（20-m）（300+20m），即：P=-20m■+100m+600=-20（m-2.5）■+725，所以当m= 时，P有最大值，是 。当降价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元。因为850＞725，所以应涨价5元，即定价为65元时，所获利润最大，利润是850元。

这节课是在学生有目标进行课前预习后上的，上节课时，学生的思想很活跃，学生参与学习的热情高涨，连平时很少动脑思考的同学也有很多的问题提出来；在课堂上学生们能顺利地完成了从现实情境抽象出数量关系，能通过建立数学模型来解决有关最值的问题，掌握分析问题的一般方法，通过开放性探究，培养学生思维的发散性、灵活性、广阔性，使学生对利用二次函数的性质解决实际问题的方法逐渐内化成为自己的知识，渗透从特殊到一般的认识规律，体会转化、建模、方程、分类等数学思想方法在解决问题时的作用，发展符号感及数学应用意识。