合理地去绝对值符号

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合理地去绝对值符号，是解决含有绝对值的不等式问题的关键. 现以近年高考题、模拟题中的一些试题为例说明.

一、 讨论后去绝对值

例1

若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围.

解

设f（x）=x+|x-1|，则f（x）=2x-1，x≥1，1， x＜1.f（x）的最小值为1.

因为x+|x-1|≤a有解，即f（x）≤a有解，所以a≥1．

例2

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．

（1） 若a=-1，解不等式f（x）≥3；

（2） 如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围.

解

（1） 当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3得|x-1|+|x+1|≥3，不等式可化为x≤-1，-2x≥3或-1＜x≤1，2≥3或x＞1，2x≥3，所以不等式的解集为xx≤-32或x≥32．

（2） 若a=1，f（x）=2|x-1|，不满足题设条件；

若a＜1，f（x）=-2x+a+1，x≤a，1-a， a＜x＜1，2x-（a+1），x≥1，

f（x）的最小值为1-a；

若a＞1，f（x）=-2x+a+1，x≤1，a-1， 1＜x＜a，2x-（a+1），x≥a，

f（x）的最小值为a-1．

所以对于x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a-1|≥2，从而a的取值范围为（-∞，-1］∪［3，+∞）．

评

注

根据绝对值的定义，|x-x0|=x-x0， x＞x0,0，x=x0,-x+x0，x＜x0.在零点x0处对x加以讨论，可有效地去掉绝对值符号.

二、 平方后去绝对值

例3

不等式|x+1||x+2|≥1的实数解为 .

解

|x+1||x+2|≥1|x+1|≥|x+2|且|x+2|≠0（x+1）2≥（x+2）2且x≠-22x≤-3且x≠-2，

解得x≤-32且x≠-2． 所以原不等式的实数解集为（-∞，-2）∪-2，-32．

评

注

我们知道，若a＞0，则x＜ax2＜a2；|x|＞ax2＞a2． 因此，借助平方的方法我们可以方便地去掉绝对值符号.

三、 运用绝对值的几何意义

例4 已知a∈R，若关于x的方程x2+x+a-14+|a|=0有实根，则a的取值范围是 .

解

因为方程x2+x+a-14+|a|=0有实根，由Δ=1-4a-14+|a|≥0，得a-14+|a|≤14，

由绝对值的几何意义(如图1)可知0≤a≤14．

图1

所以0≤a≤14．

评

注

a-14的几何意义是数轴

上动点a到定点14的距离，|a|的几何意义是数轴上动点a到定点0的距离，要使这两个距离之和不大于14，a只能在14和0之间.

四、 运用含有绝对值的不等式的性质

例5

设f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1． 求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

证

明

因为f（x）=x2-x+1，|x-a|＜1，

所以|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|・|x+a-1|＜|x+a-1|．

因为|x+a-1|=|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），

所以|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

评

注

含有绝对值的不等式具有如下性质：|a|+|b|≥|a+b|，|a|-|b|≤|a+b|，|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|．

利用这些性质我们可以无需讨论、平方，就能够使含有绝对值的不等式的有关问题迎刃而解.

含有绝对值的不等式，其“难”就难在绝对值上，只要我们掌握了以上几种解决的方法，就可以化难为易了.