一道调研题的多角度思考

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摘 要： 本文通过对一道调研试题不通角度的剖析，阐述了平面向量在高中立体几何教学中的地位，以及平面向量作为工具的多样性。

关键词： 调研题 二面角 向量

武汉市2010届高中毕业生四月调研测试理科数学第18题:在直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA=，M、N分别为棱AA、BC的中点，点P在边AB上，且AP=2PB.

（1）求证：MNAP；（2）求二面角M-AN-P的正切值.

对于第②问中的二面角问题，我们可从多个角度加以思考.

方案一：取BC的中点D，连接DN，DA，过点P作PEAD于点E.过E作EFAN于F，连接PF.

由三垂线定理知：∠PFE为二面角M-AN-P的平面角.在ABD中，cos∠BAD==.在RtPEA中，PE=AP•sin∠BAD=，故tan∠PFE==.

故二面角M-AN-P的正切值为.

方案二：取BC的中点D，连接DN、DA，过点P作PEAD于点E.设α是二面角M-AN-P的平面角，EAN底边AN上的高为h，PAN底边AN上的高为h，可知cosα==.在长度都已知的情况下，容易计算得cosα=，故tanα=.

即二面角M-AN-P的正切值为.

方案三：如图，以C点为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴建立空间直角坐标系.

A（1，0，），N（0，，），M（1，0，）.

P（，，0），则=（-1，，0），=（0，0，-），=（-，，-）.

设=（x，y，z）是平面AMN的一个法向量.则•=0•?圯-x+y=0-z=0，令y=2，得：n=（1，2，0）.

设=（x，y，z）是平面APN的一个法向量.则•=0•=0?圯-x+y=0-x+y-z=0，令y=2，得：=（1，2，），cos＜，＞===，由此可得tanα=.

即二面角M-AN-P的正切值为.

方案三图

方案四：过P点作PQ垂直于AN于点Q，设Q（x，y，z），=（x-，y-，z），PQAN可得：•=0……（1）

A、Q、N三点共线可得：=t+（1-t）……（2）

由（1）得-x+y=0……（3）

由（2）得x-=-+ty-=--tz=……（4）

将（4）代入（3）得：t=，可得=（-，-，），易知与所成的角为二面角M-AN-P的平面角.

cos＜MA，PQ＞===，得tan＜，＞=，即二面角M-AN-P的正切值为.

方案四图

方案五：由图可得：=++，==，||=，||=，||=，

=（++）=+++•.

即可得：

=+++×cos＜•＞，得cos＜•＞=-，tan＜，＞=-，知与所成的角为二面角平面角的补角，由此可得二面角M-AN-P的正切值为.

方案五图

一题多解并不是教学追求的终极目标，但是在一题多解的过程中能提高学生分析问题、解决问题的能力，使得对知识点能融会贯通，最终达到提高解题能力的目的.

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