用函数的知识解决数列问题

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苏教版必修5课本中第32页写道：“在数列{an}中，对于每一个正整数n（

n∈{1，2，…，k}），都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数

an=

f （n）.”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数.从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识.因此，我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题.

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识

an，Sn和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学.在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示.

例1等差数列中， ，则

分析：因为 是等差数列，所以 是关于n的一次函数，一次函数图象是一条直线，则（n，m），（m，n），（m+n， ）三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即 ，得 =0（图象如图2所示），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图象，直观、简洁.

二、构建函数，揭示数列本质

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法.而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识.在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题.函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等.在数列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野.

通过对以上实例的研究和分析，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质.当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多种数列问题.同时，我们的学生的知识网络能够得以不断优化与完善，思维丰富并发散，对知识的掌握与运用能够驾轻就熟.

[江苏省句容实验高级中学 （212400）]