“三心二意”探向量

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向量是高中数学的重要知识点,包含了代数(坐标运算)和几何(平行四边形法则、三角形法则)两方面知识,因此在探究向量问题时,需要思路开阔、方法灵活. 下面以2009年高考数学安徽卷第14题为例加以说明.

给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为120°. 如图1所示,点C在以O为圆心的圆弧 上变动. 若 =x +y ,其中x,y∈R,则x+y的最大值是________.

图1

由条件 =x +y 知如何将x,y分离出来是解答该题的难点. 条件是向量表达式,只有去掉向量才能找到x,y的关系,由向量与实数的关系自然容易想到模,而题设条件是A,B,C在单位圆上,因此 , , 的模都是1. 那如何才能出现模的形式呢?利用模的性质(即a2=a2),对原式平方即可.

解法1由 =x +y ,两边平方可得 2=x2 2+y2 2+2xy,即1=x2+y2+2xycos120°=x2+y2-xy,于是(x+y)2=1+3xy≤1+3,解得x+y≤2. 故x+y的最大值是2.

由于该题是求最大值,所以容易联想到求最值的几种常用方法. 我们关注的是题设条件中的变化的量,由于点C在以O为圆心的圆弧 上变动,其实质就是∠AOC的变化,因此可以考虑转化为以∠AOC为变量的三角函数求最值. 联想到向量中与角有关的是数量积,∠AOC可以看做是 , 的夹角,因此,可以考虑利用 对等式两边构造数量积.

解法2设∠AOC=α,有

• =x • +y • , • =x • +y • ,即

cosα=x- y,cos(120°-α)=- x+y,

所以x+y=2[cosα+cos(120°-α)]=cosα+ sinα=2sinα+ ≤2. 故x+y的最大值是2.

以上两种解法都属于向量的代数运算,它是解决向量问题的基本方法,也是通法. 而向量的几何运算(平行四边形法则与三角形法则)则会使向量问题的求解更加直观、简便.

注意到题设条件是两个向量的线性和的形式,因此可以考虑利用平行四边形法则将 在 , 方向上进行分解,两个分量就是x 与y ,此时x,y的几何意义就十分明显了. 过C分别作 与 的平行线,构造平行四边形OMCN,显然OM=x,ON=y,OC=1,∠COM=60°,这些条件类似于解三角形,并且这些条件都集中在COM中,因此可以利用余弦定理求解.

图2

解法3过C分别作 , 的平行线,构造平行四边形NOMC. 由平行四边形法则可知 = + ,因此OM=x,ON=y,在COM中,x2+y2-2xycos60°=1,即1=x2+y2-xy,故(x+y)2=1+3xy≤1+3,解得x+y≤2. 故x+y的最大值是2.

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