《函数的单调性》教学设计

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[教学目标]

1.知识与技能

能从文字、形与数三方面解释说明增、减函数的概念及函数单调性的定义；初步学会利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法

结合生活实例及已学的特殊函数，通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法的运用；体会分类讨论思想及集合语言的运用，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的应用，提高学生的推理论证能力。

3.情感、态度与价值观

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感受从具体到抽象，从特殊到一般，从局部到整体，从感性到理性的认知过程。

[教学过程]

（一）创设情境

师：刚才通过大屏幕我们欣赏到了四季更迭，应该说季节的变换让我们充分感受到自然之美，众所周知这种色彩的演变源于温度。今天就让我们从温度开始，进入今天的数学探索历程。让我们来看这样一个问题。（用多媒体展示问题，老师身入同学中）

师：问题1：观察沈阳市秋季某一天24小时，温度随时间变化的函数曲线。如图，分析随时间的逐渐推移，温度的变化情况。

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生：从零时至3时温度下降，从3时至14时温度上升，从14时至24时温度下降。

师：很好。在这位同学清晰、准确的描述中，提到了两个关键词：上升与下降。（升高、降低）

师：请问：在我们学过的数学知识中，有没有类似具有既上升又下降（升高、降低）或仅上升、仅下降的例子，谁能举例？

生：一次函数的整体上是上升或是下降的，二次函数在对称轴左右的升降是相反的。

生：反比例函数。

（演示学生提出的实例，在生动活泼的氛围中，了解“上升与下降”图形特征）

师：如此多（实例）熟知的函数，都具有这种特征，为了更好描述这些事物的这种共性，教材用了两个字来形容，即“增、减”。若与函数相结合，我们就将这种具有“升高”或“降低”的特征函数，取名为“增函数”与“减函数”——统称函数的单调性。这就是我们这节要研究的主要内容。

（二）初步探索，展示内涵

第一层：归纳（图像特征）

师：由刚才温度函数曲线，可迅速观察出在某时间段上函数的“增、减”。若现在换个方向观察（从右到左），能否说此时因函数图像呈上升趋势就在这个时间段上是增函数，呈下降趋势就在这个时间段内是减函数？

生：不行。

师：一旦改换观察方向结果就大相径庭，为此，在这里我们将观察的方向作以统一规定。

第二层：数学符号表示

师：有了这个规定，由图像观察增、减函数简单易行，但我们知道有些函数的图像是难以画出的，特别对于存在无限延展的图像（例如二次曲线），更是受限于我们的视野及纸张等实际条件的约束，无法通过观察来判断远处的增、减。所以急待寻找一种更为严格、通用、可行的方法来定义增、减函数。“形”难以完美体现的，数学中我们就用“数”来形容。今天我们就一同来尝试用数的方式来体现图形的增减，进而来定义增、减函数。

师：如何将数与形联系在一起呢？如何用数体现形的增、减，现在我们借助以下的问题作以分析，从中你会有什么发现？

师：判断1、根据问题1中的图像，因为当1

生：错。

师：为什么？

生：在[3，14]上为增函数，1与15不在这个区间内。

师：很好。所以我们在表述增减时必须指明在同一区间内才可以研究。（板书：区间）

师：判断2、因为当8

生：错。

生：对。（出现意见上的分歧，分组讨论，派代表发言、演示）

师：判断3、因为当t1

生：错。

师：如何形容[3，14]上为增函数更准确？两点不行、多个有限点也不行？那应该多少个点？

生：任意点。

师：哪上的任意点？

生：区间上的任意点。（教师板书：任意）

师：如何实现任取？由于取定点、定值是不可行了，必须取变点，需要取几个变点呢？

（引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得到函数单调性定义，帮助学生完成思维的飞跃）

生：两点。

师：如何实现任取？看图像，为方便我们从函数图像中截取一段进行研究。

生：函数在某区间上任意两点y随x的增大而增大；则函数在该区间上为增函数；函数在某区间上任意两点y随x的增大而减小；则函数在该区间上为减函数。

（学生可借助已有的认知基础很容易答出这样的表述，在表述中让各组畅所欲言，在对比中寻出更合理科学的表达方式。老师将有代表性的几种定义方式用展示屏台演示）

师：所有的定义方式都有哪些公共关键词？

生：区间，任意，增大，减少。

师：现在我们以这里面公认最优的这一定义表述为基础，如何用数学符号来表达？

生：对于函数f（x）的某个区间M上的任意两个自变量的值x1，x2，

（1）当x1

（2）当x1f（x2），则说f（x）在这个区间M上是减函数。

师：形容增、减有没有其他方式？

师：1到1.5如何去形容它们间的增，反之如何形容它们的减？（引入增量）

生：作差比较，差为正值时为增，差为负值时为减。

师：改变量定义：Δx=x2-x1，表示自变量x的改变量；Δy=f（x2）-f（x1），Δy表示因变量y的改变量。

师：板书概念：设函数的定义域为A，区间MA. 如果取区间M中的任意两个值，

（1）当改变量Δx=x2-x1>0时，有Δy=f（x2）-f（x1）>0，那么就称函数y=f（x）在区间M上是增函数。

（2）当改变量Δx=x2-x1>0时，有Δy=f（x2）-f（x1）

（3）单调性与单调区间

若函数y=f（x）在某个区间M上是增函数或减函数，则说函数y=f（x）在这一区间M上具有单调性，这一区间M叫做函数y=f（x）的单调区间。

师：科学定义有哪些关键词，有何特征？

生：“定义域、区间、任意”“同号则增，异号则减”即“同增异减”。

（三）循序渐进，延伸拓展

师：例1、如图，定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图像，根据图像说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数还是减函数。

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生：函数y=f（x）的单调区间有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]，其中y=f（x）在区间[-5，-2），[1，3）上是减函数，在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。（小结判断函数单调区间的方法：从左至右）

师：例2、判断以下函数在定义域上的单调性，并加以证明。①f（x）=3x+2；

生：解：在R上为增函数；

证明：任取x1，x2∈R，且x1

则Δx=x1-x2>0

Δy=f（x2）-f（1）=（3x2+2）-（3x1+2）——作差

=3（x1-x2），——变形

Δx>0 Δy>0——判号

f（x）=3x+2在R上是增函数。——定论

归纳解题证明步骤：设元、作差、变形、判号、定论。

师：②f（x）=x2

生：解：在（-∞，0]上为减函数，（0，+∞）上为增函数

（两组证明（-∞，0]，两组证明[0，+∞），以竞争机制提高效率）

生：证明：①任取x1，x2∈（0，+∞），且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）>0，

f（x）=x2在区间（0，+∞）上是增函数。

②任取x1，x2∈（-∞，0]，且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）

f（x）=x2在区间（-∞，0]上是增函数。

师：你在证明中出现了哪些疑难？同学是如何将你的疑难解决的？

生：①出现x22-x12如何去解释：有理有据，不能评经验。

②单调区间的表示，不要写成范围，应写成区间。

（四）归纳总结，内化知识

由学生自己总结，再由师生共同归纳完善。

[教学反思]

本节在教学设计之初充分研读了教材、课标与学生情况。教学过程中，在学生原有认知能力的基础上，通过创设生活情境，激发学生问题意识，让学生从自身周遭中感受数学就在身边，强化学生的感性认识。以图形、直观认识入手，通过层层设疑，引导学生动手、动口、动脑，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动。其间学生积极讨论和交流，发挥学生的自主性与能力性，培养学生的合作精神。例题选择更是依托具体函数，实现对单调性定义的理解与再认，初步构建解题模式。过程中，教师以引导为主，营造发现进取的氛围，使学生始终处于一种积极探索知识，寻求答案的最佳状态中。整堂课学生反应积极、热情，会通过函数图像来准确判断函数单调性；对定义的理解可抓住关键词语；证明过程步骤化，可形成思维的定势.基本达成了本节教学目标。当然，其中还是存在了很多的问题，譬如最大的问题就是学生探究时间受教学内容制约，无法将更多同学的思想及表达方式一一体现，以至后一阶段为节省时间教师讲得多。为避免这种局面的产生，教师在课堂把握中可合理巡视，并从学生讨论小组中筛选。其次教学中急于让学生理解、掌握定义中的内涵，出现了知识的反复强调，忽略了学生刚刚接触新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，在养成一定的思维习惯、形成一定的解题思路也是对理解消化知识有帮助的，理解是需要一个过程。（责任编辑：李雪虹）