小量近似方法应用两则

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小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的.这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法――对一个小角量θ来说，有sinθ=θ，cosθ=1；在研究一个普通量时，可以忽略小量.

1欧拉公式

十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：F2=F1eμθ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比.

若取μ=0.2，θ=12π，则F2F1=1881≈2000.

所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物.

下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧Δl为研究对象，受力分析如图1所示，F和F+ΔF为小弧两端所受张力，FN为柱体对绳的压力，f为静摩擦力.根据平衡方程，得

故F2=F1eμθ，即两张力之比按包角呈指数变化.

儒勒・凡尔纳在《马蒂斯・桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面.不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟.最后，缆索断了.可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去.

理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力.

2重力场中光子频率变化

已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能.若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为ν′，则差ν′-ν=，已知地球表面附近的重力加速度为g.（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）