从“抓阄”谈起

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“抓阄”在现生活中很常见，人们要在若干个问题中选择其一时，在没有很好的办法的情况下，通常采用“抓阄”的方法。但在“抓阄”的过程中许多人认为先抓比后抓机率大，都想先抓而不愿后抓。真的是这样吗？我们看这样一个问题，学校举行的青年志愿者活动中，要从班上的５０名学生中选择１人。在决定谁去的问题采用了“抓阄”制。５０个阄中只有一个写有参加，其余的全是空白阄，５０名同学按照排定的顺序从中各抓１个，以决定谁参加。那么，先抓还是后抓（后抓人不知道是先抓人抓的结果），对每个同学来说公平吗？也就是说，每个学生抓到“参加”字样阄的概率相等吗？下面我们进行具体分析一下：

对第１个“抓阄”者来说，他从５０个阄中任抓１个，得到参加字样阄的概率Ｐ１＝

为了求得第２个“抓阄”者抓到参加字样的概率，我们把前２个抓阄的情况作一整体分析。从５０个阄中先后抓出２个，可以看成从５０个阄中抓出２个进行排列，它的种数是Ａ ，而其中第２个学生抓到“参加”字样阄的情况有Ａ 种。因此，第１个学生未抓到，而第２个学生抓到的概率。

Ｐ２＝

为了求得第３个“抓阄”者抓到参加字样阄的概率，我们把前３人“抓阄”的情况再作一整体分析。从５０个阄中先后抓出３个，可以看成从５０个阄中抓出３个进行排列，它们的种数是Ａ ，而其中第３个抓到“参加”字样阄的情况有Ａ 种。因此，第１、第２个学生未抓到，而第３个学生抓到的概率

为此下去，可求得第４个学生、第５个学生…….一直到第５０个学生抓到参加字样阄的概率也都是

通过上面的分析，我们可以得到：如果在几个阄中有一个有用阄，几个人依次从中各抓１个，且后抓人不知道先抓人所抓结果，那么第３个抓阄者（ｉ＝１、２， 、ｎ）抓到有用阄的概率：

也就是说，每个抓阄者抓到有用阄的概率都是

他们抓阄的概率与抓阄的顺序无关。

如果在５０个阄中有２个用阄，５０个学生依次抓一个，他们抓到有用阄的概率是否相同呢？

第１个抓阄者抓到有用阄的概率为

对第２个抓阄者，我们还从整体出发，前２名学生总的抓法为Ａ，第２个学生抓到有用阄的情况有Ａ、Ａ，因而第２个抓阄者抓到有用阄的概率：

同理，可求得以后各个抓阄者抓到有用阄的概率均为 。

我们又可以得到：如果在ｎ个阄中有２个有用阄，ｎ个人依次从中各抓一个，且后抓的人不知道先抓的人的结果，那么，第３个抓阄者抓到有用阄的概率：

同样的方法我们可求得：ｎ个阄中有ｕ个有用阄（Ｋ≤ｎ），ｎ个人依次从中各抓一个，且后抓的人不知道先抓的人结果，那么第三个抓阄者抓到有用阄的概率：

通过以上的分析，我们看到抓阄者虽然顺序有先有后，但只要不让后抓人知道先抓人抓出的结果，那么各个抓阄者抓到有用阄的概率是相等的，也就是说，并未因为抓阄的顺序不同而影响其公平性。

“抓阄”虽然在现实生活中非常普通，但真正对其完全认识的人并不多，很多人都对其有着片面的认识，总以为先抓之人机率大，通过研究我们知道其实他们是公平的，象“抓阄”这类问题来源于生活，又能解决生活中存在的实际问题。对“抓阄”这类问题的研究不仅能把学生从枯燥乏味的抽象学习中解脱出来，为他们思考问题展现出更广阔的前景，也能激发学生的灵感。南京师大附中朱笑天同学利用几何工具平台，发现了一种画椭圆的新方法。

目前，数学教学大纲对分析、解决实际问题的能力要求越来越高，高考对实际问题的考查也越来越重视，这就要求教师在教学的过程中加强研究性课程的教学，教师在讲授实际问题时，多问几个为什么，并引导学生大胆质疑，必要时可带领学生做一些实地调查，并鼓励学生自己撰写小论文，勇于发表自己不同的见解或解决实际问题的新思路、新方法。只有这样，应用问题的教学才能真正起到培养学生运用数学知识解决问题能力的作用，并成为培养学生探索、创新能力的理想载体，促进学生综合素质的提高。

象“抓阄”这样的问题，在实际生活中无处不有，只要善于观察，勤动脑，就能将课本上学到的知识用于解决实际生活中的问题。你就会觉得数学绝不枯燥，能培养你学习数学的兴趣，同时能提高学以致用的能力。