加权分数傅立叶变换通信系统抗参数扫描及星座分裂性能分析

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摘要: 针对现有基于加权类分数傅立叶变换系统的信号特征，以衡量单参数WFRFT信号抗参数扫描特性为目的，给出了非目的接收机存在变换参数误差条件下的等效信噪比.在单参数WFRFT系统的基础上，类比多径信道下的单载波信号星座图特征，研究了多参数WFRFT的信号的星座分裂特性.多参数WFRFT系统不但可以提高单参数系统抵抗参数扫描检测的能力，同时其具有的分裂调制星座图的特点还能有效隐藏原始调制方式.

关键词: 通信与信息系统；加权类分数傅立叶变换(WFRFT)；单参数WFRFT；多参数WFRFT；星座图分裂

中图分类号:TP 918 文献标志码:A 文章编号:1672-8513(2011)05-0361-06

The Secure Communication System Based on Single/Multi-Parameter Weighted-Type Fractional Fourier Transform

MEI Lin，SHA Xuejun，ZHANG Naitong

（Communication Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China）

Abstract: The paper presents the converting Signal to Noise Ratio of non-destination receivers for evaluating the ability of resistance against parameter detection of Single-Parameter Weighted-type Fractional Fourier Transform (WFRFT for short) when there is an error of transform parameter in the receiver. In order to improve the resistance capability of parameter detection, the schemes of Multi-Parameter could be adopted, which has a property of fission constellation that the original modulation scheme will be well concealed. The reasons of fission constellation in Multi-Parameter WFRFT are analyzed by analogy with that in the single carrier system over multi-path channels.

Key words: communication and information system; weighted-type fractional Fourier transform(WFRFT); single-parameter WFRFT; multi-parameter WFRFT; fission constellation

加权类分数傅立叶变换(Weighted-Type Fractional Fourier Transform, WFRFT)是有别于经典分数傅立叶变换(Chirp类分数傅立叶变换, Classic FRFT or Chirp-Type FRFT, CFRFT)的一种新型数学工具，由Shih在1995年首次提出［1］，在此之后其数学定义被不断推广［2-7］.

文献［8-9］通过定义离散序列的WFRFT使其适用于对数字信号的处理，并将其引入到通信系统当中提出了WFRFT数字通信系统的框架.单参数WFRFT数字通信系统的输出信号星座图与原星座图相比，具有旋转和类高斯的分布特性，文献［8-9］据此提出利用该特点进行保密或抗截获通信的可能性.文献［10］以此为基础，借鉴跳频系统的思想，提出利用伪随机序列控制WFRFT参数变化的变参数WFRFT通信系统，以提高WFRFT系统参数抗跟踪和抗扫描特性.文献［11］也利用单参数WFRFT信号的类高斯统计特性，提出将WFRFT信号作为搭载信号的隐蔽通信系统方案.而文献［12］则从另一个角度解释了WFRFT在通信系统中的物理含义：WFRFT通信系统是一种单、多载波体制混合调制的结构.

本文在文献［8-9］的基础上，进一步研究单参数WFRFT信号抗参数扫描的特性，并给出当参数存在误差时等效信噪比的近似公式.此外针对多参数WFRFT信号的星座分裂特征，对比多径信道下单载波信号的星座分裂，分析了多参数WFRFT信号星座分裂的成因.

1 基于加权类分数傅立叶变换的数字通信系统

设X0(n)为任意复数序列，{X0(n), X1(n), X2(n), X3(n)}分别是X0(n)的0~3次离散傅立叶变换，其中DFT采用归一化定义形式，如式所示

X(k)=1N∑N－1n=0x(n)e－j 2πNkn,x(n)=1N∑N－1k=0X(k)e j 2πNkn. （1）

则其WFRFT定义可以表示为

S0=Fα［X0(n)］=w0(α,V)X0(n)+w1(α,V)X1(n)+w2(α,V)X2(n)+w3(α,V)X3(n),（2）

其中，加权系数定义为

wlα=14∑3k=0exp±2πi44mk+1αk+4nk－lk l=0,1,2,3.（3）

公式（3）是由α，M=［m0, m1, m2, m3］和N=［n0, n1, n2, n3］等9个参数共同控制的加权系数形式，其中M和N均为实向量.定义V=［M,N］，当V=0时公式所定义的为单参数WFRFT，否则为多参数WFRFT.

扩展公式（2）的定义:

S=S0S1S2S3=W(α,V)X=w0w1w2w3w3w0w1w2w2w3w0w1w1w2w3w0X0X1X2X3=w0X0+w1X1+w2X2+w3X3w3X0+w0X1+w1X2+w2X3w2X0+w3X1+w0X2+w1X3w1X0+w2X1+w3X2+w0X3 .（4）

由{X0(n), X1(n), X2(n), X3(n)}之间的关系不难证明：{S0(n), S1(n), S2(n), S3(n)}分别是S0(n)的0~3次DFT，S0(n)是S3(n)的DFT；{S0(n), S1(n), S2(n), S3(n)}分别是{X0(n), X1(n), X2(n), X3(n)}的α阶WFRFT.由于可逆性的存在，在已知S0(n)情况下，可以通过对其做阶数为-α的WFRFT求得X0(n).

X0(n)=F－α［S0］(n)=w0(－α,V)S0(n)+w1(－α,V)S1(n)+w2(－α,V)S2(n)+w3(－α,V)S3(n). （5）

虽然公式(2)~(4)定义的序列的WFRFT与Shih的连续WFRFT定义在形式上类似，但其并非连续WFRFT的离散算法，该定义仅仅针对任意的复数序列.

由文献［8-9］，基于WFRFT的数字通信系统如图1所示，该系统可以采用如MPSK和MQAM等任何可以投影到复平面上的离散信号形式.其输出的信号具有与其输入信号一致的功率谱，可以完全适用于现有的通信发射、接收系统，并不需要额外的装置和系统变化.

2 单参数WFRFT系统抗参数扫描特性

文献［8-9］研究了经过WFRFT后的BPSK、QPSK和16QAM信号星座图，发现了其在时频域均服从类高斯分布的特点.研究信号的统计特性，主要是因为基于高阶累积量等统计分析方法是盲信号检测和调制方式识别的重要手段［13］，研究的前提是非目的接收机对发送信号基本信息未知.而衡量WFRFT信号抗截获性能的另一个重要标准，是当非目的接收机已知发送信号采用单参数WFRFT技术而未知具体变换参数时，采用参数逐一扫描的方式获取正确解调参数的可能性及需要付出的代价.

设解调时参数α的误差为Δα，则等价为对原信号做一次参数为Δα的WFRFT后再直接解调.图2所示为参数误差Δα在10-1量

[PS梅林2;S1；X1；Z1*2，Y,PZ#]

级时获得的误码率曲线.对于非目的接收机而言，信号经过WFRFT后相当于增加了叠加在信号上的噪声能量，等效于降低了接收机的信噪比.下面将给出WFRFT对于非目的接收机等效信噪比影响的量化值，即目的接收机与非目的接收机之间等效信噪比的关系.该关系同样可以用来描述目的接收机与发射机之间参数α的误差对于接收机信噪比的影响.

定义信号的平均功率为Ps，噪声平均功率N0.在（2）式中，对于非目的接收机第1项为信号，其余3项可视为噪声.由于变换前后能量守恒，故Xl(l=0,1,2,3)的平均功率相同均为Ps，因此需要考虑|w0|2与(|w1|2+|w2|2+|w3|2)之间的比值.又由于WFRFT的旋转作用对非目的接收机也会造成影响，根据经验该影响因子为cos2(-3απ/4).对非目的接收机而言，信号经过WFRFT后的等效能量变为

P′s=w02cos234απ•Ps=cosα4π•cosα2π•cos34απ2•Ps.（6）

在非目的接收机处每比特信息的等效信噪比SNR1为

SNR1=10 lgcosα4π•cosα2π•cos34απ2•Ps1－cosα4π•cosα2π•cos34απ2•Ps+N0=

10 lgcosα4π•cosα2π•cos34απ21－cosα4π•cosα2π•cos34απ2+N0Ps=

10lg cosα4π•cosα2π•cos34απ21－cosα4π•cosα2π•cos34απ2+10－SNR0/10,（7）

其中SNR0=10 lg（Ps/N0）为目的接收机的信噪比.因而公式(7)即为所求表达式.

将Δα和SNR0 (即图2横坐标值)带入公式(7)计算得到SNR1，再用新得到的SNR1和Δα所对应的误码率曲线一起绘制新的误码率曲线，新曲线与理想的重合程度就说明了公式的准确程度.验证结果如图3所示，可见Δα在10-1量级时公式较为准确地描述了Δα对非目的接收机接收信噪比的影响.需要说明的是，公式中存在有经验因子cos2(-3απ/4)，这使得Δα较大或较小

时的公式误差会增大.

3 多参数WFRFT信号星座图分裂分析

3.1 多参数WFRFT信号星座特征

当V≠0时，图1所示为多参数4-WFRFT通信系统；当V=0时，多参数系统退化成为单参数系统.为进一步提高WFRFT对抗参数扫描检测的能力，可以引入多参数WFRFT方案.由于参数由1个增加到9个，使得单纯对于某个参数的扫描检测越发困难，而同时得到9个参数的信息对于非目的接收机几乎是不可能的.

由于是单参数系统的推广，多参数系统具有单参数系统包括旋转特性在内的一切性质.此外，矢量V的引入使得变换后的信号发生了新的变化.如图4所示，QPSK调制信号在经过特定参数的多参数WFRFT后，原始星座图上的4个星座点除了发生旋转和扩散之外，每个星座点又“分裂”成4个新的星座点.使得变换后的信号看上去更像一个发生了旋转并叠加了噪声的16QAM信号.这一“星座分裂”的特性随着变换参数的改变而不同，这使得大多数基于星座图进行的自适应调制方式识别算法失效.

很显然，这种“星座分裂”的特性与参数M和N的引入有关.M的作用体现为对参数α的压缩和扩展，进而改变了WFRFT周期，也就是改变了时频域在参数α上的距离(单参数时时频域的距离为1).N的作用主要体现为对于特征向量的旋转.由于每个加权系数均为4个e的复指数相加，每个复指数对应M和N中的1个分量，因而每个复指数对于加权系数乃至被加权序列的影响都是不同的.因而在信息序列中，即使处于同1星座点上的码元，由于彼此在序列中位置的不同，经过变换后也会发生不同的变化趋势.而对于每个星座点而言，都会有4个不同的变化趋势.这也是为什么经过特定参数的WFRFT后，QPSK信号会变为类似16QAM的形式.随着参数α的进一步改变，原来不同星座点分裂出的子星座点也会彼此交叠甚至重合，这将使得变换后的信号星座图更加复杂，进而也就更难被检测和破解.

3.2 2径信道对单载波系统星座图的影响

与多参数WFRFT类似的星座分裂现象在多径信道中也有出现，下面通过对2径信道模型中星座分裂现象的分析，来解释多参数WFRFT信号星座图产生分裂的原因.设信道为Rayleigh信道，存在2条功率相同、相位相同的多径，每符号采样点数32，2条路径之间的时延是可调参数，步长为1个采样点，接收机采用相关接收.考察τ取0~96的整数时(0~3个码片周期)，信号星座图的变化，结果如图5所示.

当延迟在1个码片周期内(32个采样点)的时候，随着τ的增大，原有4个母星座点受彼此吸引的影响，每个星座点会分裂成4个子星座点，并彼此远离.其中，处在原母星座点位置的子星座点不动，其他3个子星座点分别沿着以母星座点为顶点的某个平行四边形(矩形或正方形) 的2条边和1条对角线的方向移动.最终，4个子星座点构成该平行四边形的4个顶点.

当τ=32时，即延迟1个码片整周期时，星座图达到第2个极限位置(原始星座图为第1个)，此时随着τ的增大，16个(4×4)1阶子星座点进一步分裂.将这16个1阶子星座点视为2阶母星座点(原始4个星座点为1阶母星座点)，则每个2阶母星座点再次分裂成4个2阶子星座点.与第1次分裂一样，这4个2阶子星座点中，其中之一占据原母星座点的位置，其他3个沿某个平行四边形的2条边和1条对角线的方向移动.在时延介于1~1.5倍码片周期之内时，即32

星座图的第3个极限位置是当τ=48时，时延为码片周期的1.5倍，第1个码片对第2、3个码片的影响效果相同.从星座图上观察，几个2阶子星座点在彼此靠近后重合，此时星座点最多有4×3×3=36个.随后当τ>48时，重合的星座点又开始分裂成64个，并由第3极限位置向第2极限位置转换.如此在第2、3极限位置间反复.

由以上描述可知，信号星座分裂的原因来自于相近信号的叠加，而多参数WFRFT的星座分裂正是由4项加权中的第1项和第3项叠加产生的结果.那为什么相同的叠加方式，在单参数WFRFT中这种却没有产生星座分裂的现象呢？这是由于加权项中另外2项左右的结果：在单参数WFRFT中，如果仅仅考察第1项与第3项，则也会看到星座分裂，只不过星座点分裂的距离较小，小于第2、4项类高斯分布覆盖的范畴，故而这种单参数WFRFT的星座分裂在叠加第2、4项后被掩盖.

4 结语

本文以研究WFRFT信号抗参数扫描性能为出发点，分析了变换参数误差对接收机信噪比的影响，并仿真验证了所得非目的接收机等效信噪比经验公式的正确性.同时揭示了采用多参数WFRFT可以使得信号星座图发生星座分裂的特殊变化，并对比多径信道下单载波信号的星座分裂现象解释了多参数WFRFT信号星座分裂的成因.多参数WFRFT信号星座分裂情况复杂，变换参数多，能够更加有效地隐藏原始调制方式和抵抗非目的接收机对变换参数的扫描.

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收稿日期:2010-12-30.

基金项目:国家重点基础研究发展规划（2007CB310606）.

作者简介:梅林（1982-）,男，博士研究生.主要研究方向：变换域通信系统.

通讯作者:张乃通（1937-），男，教授，博士生导师，中国工程院院士.主要研究方向：UWB、C4I通信系统、专用移动通信系统、卫星通信等.