反证法 22期

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摘 要 本文讨论了反证法，引出了极小反例——群论中的一种常用证明方法，并用他们证明了一些结论。

关键词 反证法 极小反例 真子群 幂零群

中图分类号：O156.1 文献标识码：A

Reduction to Absurdity-Minimal Counterexample

ZHANG Xianxiu， ZENG Lingyan， XIA Zhenpei

（Liupanshui Normal University， Liupanshui， Guizhou 553001）

Abstract Reduction to absurdity is discussed in this paper， raises the minimal counterexample in group theory， a commonly used identification method， and proved them some conclusions.

Key words proof by contradiction； minimal example； proper subgroup； nilpotent group

1 预备知识

在本文中，（）表示的阶；[] = ；是的正规子群，记着：I$。

先看一些定义：

定义1 （文献【2】：55页）若是有限群，是素数，设，但不整除。则中必存在阶子群，叫做的子群。

定义2 群不是幂零群，但的每个真子群都是幂零群，则叫做内幂零群。

再看一些引理：

引理1 （文献【2】：31页）设I$，和/均可解，则可解。

引理2 （文献【2】：137页）设是有限群，是幂零群的一个充要条件是：的每个Sylow子群都是正规的，因而是它的诸 Sylow子群的直积。

引理3 （文献【2】：142页）设是内幂零群，则 = ，≠均为素数，且适当选择符号便有的Sylow -子群I$，而Sylow -子群循环，故不是的正规子群，并有（）≤（）。

2 主要结论

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理、公理、定义、题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法。

法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若则”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。

反证法是数学证明中的一种极其重要的数学方法，特别是对于一些直接证明比较难的问题来说，使用反证法去证明，将会变得非常简单。先看一个大家熟悉的证明：

证明是无理数。

证明：假设不是无理数，那么是一个有理数，令 = （，都是整数，，互素，且≠0）两边平方得：2 = ， = 2，显然是偶数，令 = 2，代入 = 2得2 = ，显然是偶数，这与，互素矛盾。所以是无理数。

这个证明主要用到 = 2。有理数的性质实质上是整数的性质：能被2整除，则是偶数。因为奇数的平方还是奇数。运用整数的这个性质我们还可以证明下面的结论。

定理1 证明：在勾股数中，两条直角边对应的勾股数不可能都是奇数。

证明：设，，是一组勾股数，，对应的是直角边，假设结论不成立，即，都是奇数，由勾股定理 + = 得是偶数，则是偶数；另一方面，设 = 2 + 1， = 2 + 1，则 + = + = 4（ + + + ） + 2，不能被4整除，设 = ，则 = ，能被4整除，左右不可能相等，矛盾，故原命题成立。

下面的结论是显然的：

定理2 勾股数不能都是奇数。

数学归纳法的理论根据是最小数原理，可用反证法证明。而最小数原理也是用反证法证明的。最小数原理（又称自然数的良序性）自然数集的任一非空子集必含有一个最小数。

证明：假设≠，且中没有最小数，为所有小于中任何一个数的自然数构成的集合。

由0（否则，0是中的最小数），知0。

设是中的任一自然数，即

用反证法：若 + 1，在中必存在，使 + 1≥。又由中没有最小数，知有，使>。这就有≤，但这与矛盾，于是 + 1。

根据归纳公理知 = 。

由非空知有自然数，但。这就出现了

反证法是把结论的反面呈现出来，我们容易看出矛盾，从而结论成立。在代数里，特别是在群论里经常用到的一种证明方法：把反证法和数学归纳法结合在一起，叫做极小反例法。即：用数学归纳法，取较小的数结论显然成立，假设取较大的数结论不成立，所有取的这些数（使结论不成立）组成集合，是自然数集的一个子集，根据最小数原理，中有一个最小数， = 时，结论不成立，即极小反例，然后推出矛盾，说明极小反例不存在，结论成立。

下面用这种方法来证明两个结论：

定理3 设有限群的每个真子群皆为交换群，则是可解群。

证明：设是结论不成立的极小反例（也就是说阶数比还小的群若满足定理1的条件则一定是可解群），不可解，当然不是交换群。由例7.10，含有非平凡正规子群，则是交换群，当然可解，再看商群/，显然/的每个真子换，由于/

定理4 在有限群中，若对任意的，，只要（（），（）） = 1，就有[，] = 1，则是幂零群。

证明：设群是结论不成立的极小反例。显然，对于的任何一个真子群，具备定理条件，又

基金项目：（1）六盘水师范学院校级课题（LPSSY201012）；（2）六盘水师范学院校级课题 （LPSSY201003）；（3）六盘水师范学院数学教育教学团队（LPSSYjxtd201102）

参考文献

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