基于贝叶斯概率问题的思维框架建构研究

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摘要：基于科学推理量表“Lawson test”中的贝叶斯概率问题，通过对5～8年级的18名中小学生和大学二年级的14名大学生进行访谈，探寻了他们在解题时的科学思维过程。依据学生解决贝叶斯概率问题的思维路径，将学生的认知过程分为三大类，并建构了相应的思维框架。该思维框架的建构为评估学生的科学推理能力提供了一定的理论基础，同时也对教师的教学设计提出了参考意见。

关键词：贝叶斯理论；思维框架；科学推理

作者简介：谢丽（1980-），女，湖北潜江人，长江大学物理科学与技术学院，讲师，美国俄亥俄州立大学访问学者。（湖北 荆州 434023）包雷（1969-），男，美国俄亥俄州立大学物理系，教授。（俄亥俄州 哥伦布 43210）

基金项目：本文系国家双语示范课程《力学》项目（项目编号：教育部教高函〔2010〕11号）、长江大学教学研究项目（项目编号：JY2012005）的研究成果。

中图分类号：G645 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）35-0205-02

近年来科学推理能力的重要性受到了世界范围内的广泛关注，许多研究者和教育者投身到了对学生科学推理能力的研究中。[1-3]然而现有的文献研究通常是以测量分数来定量评估学生的科学推理能力，无法进一步分析学生运用推理能力解决问题的整个过程，[1-6]同时单纯测量结果的对错也不能准确反映学生思维水平和能力的高低。基于以上原因，本文以科学推理测试卷中的贝叶斯概率问题为例，通过对学生的访谈，讨论、分析学生解决问题的思维路径，建构推理过程中的思维框架，为评估学生科学推理能力提供了理论依据，同时该框架也可以作为教师在教学设计过程中的参考工具。

解决概率统计问题时，学生运用到的科学推理能力为演绎推理和归纳推理。演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特定情况下的结论，即从一般（规律）到特殊（现象）的推理过程。归纳推理是指以个别或特殊认识为前提推出一般性结论的推理，即从特殊（现象）到一般（规律）的推理过程。[7]通过对学生推理过程中的思维框架的建构，发现在进行演绎推理时，学生只需要将习得的理论运用到实际任务当中，不需要建构新的理论，知识没有实质性的增长；而归纳推理则需要学生把观察的现象与已有的知识相结合，构建新的理论，所以学生在进行归纳推理时要比演绎推理更为困难。

一、测试和访谈过程

1.被试的选取

本项目从参加科学推理能力测试的数千名学生中选取了32名学生进行小范围访谈，其中5～8年级的学生18名（男生8名，女生10名）；本科二年级的学生14名（男生10名，女生4名）。被试的选取依据概率统计中的分层法，且学生的选择结果覆盖所有的选项，访谈的内容只涉及科学推理能力测试卷中的概率推理题。

2.具体测试题目

一天你旅游到了某个国家，发现那里有很多人在玩一种投掷游戏。投掷物体是手工雕刻的粗糙六面体，其中三面印有黑色图案，另外三面印有白色图案。你发现当六面体被抛了一百次以后，朝上一面出现白色图案的次数是72，出现黑色图案的次数是28。如果用这个六面体再投掷100次，你认为朝上一面出现白色图案的大概次数最可能是多少？

a.大约 30 次

b.大约 50 次

c.大约 70 次

d.由于这是不确定事件，我们不能预测出现白色图案的次数，只知道每一次朝上一面出现的不是白色就是黑色图案

e.以上都不对

3.访谈的内容

对所有被试的访谈进行了录像，且被试需要依次回答表1中的五个问题。

表1 访谈中的五个问题

序号 具体问题

1 你的选项是什么？

2 你怎么推断出这个结果的？

3 你关注到题目中的数据“白色图案的次数是72，出现黑色图案的次数是28”？

4 你关注到了题目的信息“投掷物体是手工雕刻的粗糙六面体”了？

5 你的确定程度是多少？（0～10）

二、思维框架的建构

通过访谈，可以把学生的思维过程分为关注理论、关注数据和混合态三种类别，以及10条子路径。这三种类别的10条思维路径既可以单独存在又可以交叉并存、相互组合，形成很多种思维模型。

1.关注理论类型

图1为关注理论的学生思维框架，从框架中可以看出这类学生只运用了演绎推理来解决问题，他们只是将习得的理论运用到实际任务当中，没有建构新的理论，知识没有实质性的增长。而且当他们发现实际情况与原有的理论不相符时，他们往往以原来的知识理论为指导，忽略实际情况或者用已有的知识生搬硬套来解决实际问题。说明学生在学习概率和统计的相关知识时，相关的理论结果对他们有很深的影响。路径（1）表示学生只有随机的概念没有统计的概念，所以无法得到结果。路径（2）和路径（3）表示学生有统计概念的知识背景，他们认为出现黑白图案的事件是随机的，每次抛掷都是独立事件，不受其他次的影响，但是出现黑白图案概率的可能性是相等的，即P=1/2。由于学生不会运用公式P*T=F，或者认为总数为100次的投掷次数太少而不能推出最后的结果。对于路径（4）和路径（5），学生运用演绎推理来判断结果，其中路径（5）是把前后两次的投掷次数看成是一个整体来判断。

2.关注数据类型

图2为关注数据的学生思维框架。路径（6）表示学生关注到的数据，但是他们并不能解释得到结论的具体原因，只是简单的认为两个100次的结果应该类似。而路径（7）表示当学生发现前100次的投掷中白色图案出现的次数为70次时，学生会考虑为什么出现的结果与以前学到的理论知识不同，然后从已知的结果中归纳、推理并建立新的理论，得出造成这一结果的原因可能是这个手刻的骰子并不是均匀的。该过程就是贝叶斯理论中的“执果寻因”的过程，是由现象到规律的过程。因此，在判断下一个100次的抛掷情况时，学生将所总结出来的结论——骰子不均匀，通过演绎推理运用到新的100次中，继而得到正确的结果，即白色图案出现的概率大概为70次。

3.混合态类型

图3为混合态的学生思维框架。该状态介于第一类和第二类之间，既对数字敏感又受到原有知识的影响。当产生认知冲突时学生无法判断，思维路径则如路径（8）所示。如果原来的理论知识占主导地位，认为以前学到的概率统计知识50%的结论可能正确的，则思维路径返回到路径（9）；反之，若在原有理论和实际数据间更倾向于数据，则思维路径为（10）。

三、结论和建议

1.探究原因

通过对学生们的访谈，对学生解决问题的思维路径和建构推理过程中的思维框架进行细致分析，可以发现学生存在以下几方面问题：一是遇到问题时，习惯于从原有的理论知识系统中找寻相关的对应理论来解决问题，即倾向用演绎推理的思维方式来解决问题。二是对抛掷结果的期望值不会推理，即知道概率但是得不到结果。三是粗浅的记住了投掷问题次数越大概率越接近50%。只是将学过的原理验证现有的问题，并不知道产生原理的机理（对称条件）是什么，导致面对机理“粗糙的六面体”时，学生根本不会运用归纳推理来建立新的理论。四是置信区间大小的问题。部分学生认为100次的投掷总数太小不足以支持其建立理论。

导致该问题出现的原因实际上是在贝叶斯概率问题里面包含了7个理论模块：独立概率、联合概率、不确定性、大数定律、期望值、样本抽样实验值和本征机理。只有把7个模块全部理解，才能真正解决该题目，以及实际生活中的类似问题。但是在教学过程中，教师往往只注重其中较少的几个模块，导致大部分学生没有形成完整的框架。从而造成在解决问题时，学生只是用部分的、片面的理论知识来进行演绎推理，而不会运用归纳推理来总结新的理论，并将新理论运用到实际问题中进行演绎推理得出结果。

2.教学建议

通过思维框架的建构不难看出，学生首先是运用已有的理论知识来解决问题，并通过演绎推理来得到结果。但是当观察到的事实与原有理论矛盾时，学生则应该运用归纳推理从特殊事件中总结出新的规律来解决问题。研究表明，学生在认知冲突中进行学习能够获得更多的知识，有助于能力的提高。[8，9]因此在教学中，教师在强调演绎推理能力的同时也要注重归纳推理能力的培养。

参考文献：

[1]Lawson A E.Development and validation of a classroomtest of formal reasoning[J].Journal of Research in Science Teaching，1978，15（1）：1-24.

[2]Lawson，A.E.Development and validation of the classroom test of formal reasoning[J].Journal of Research in Science Teaching，2000，15（1）：11-24.

[3]Bao Lei，CaiTianfang.Learning and scientific reasoning[J].Science，2009，323（1）：586-587.

[4]魏昕，郭玉英，徐燕.中小学生科学推理能力发展现状研究——以北京市中小学生为样本[J].北京师范大学学报（自然科学版），2011，47（5）：461-464.

[5]杨燕，郭玉英，魏昕，等.高师理科教学与学生科学推理能力的培养[J].教育学报，2010，（2）：42-45.

[6]张轶炳，白明侠，黄昭，等.中美大学生科学推理能力差异的调查研究[J].咸阳师范学院学报，2011，（2）：112-115.

[7]Hamers，J.H.M.，De Koning，E.，& Sijtsma，K..Inductive reasoning in the third grade：intervention promises and constraints[J].Contemporary Educational Psychology，1998，23：132-148.

[8]Klauer，K.J.，Willmes，K.，& Phye，G.D..Inducing inductive reasoning：does it transfer to fluid intelligence？[J].Contemporary Educational Psychology，2002，27：1-25.

[9]Constantinos Christou，Eleni Papageorgiou.A framework of mathematics inductive reasoning[J].Learning and Instruction，2007，17：55-66.