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函数是一种重要的数学知识,同时还是一种重要的数学思想.它是贯串初中数学的一条主线.而二次函数是函数中的重点,也是初中数学的重点与难点,因此在中考中占有重要地位.它不仅分值所占比例高,而且题型也灵活多变,既有选择题、填空题,又有解答题,而且常与其他知识结合在一起,出现在压轴题中.
而在解答函数题目的时候,我们又经常利用图像与系数的关系,巧用数形结合的思想来分析解决问题.
二、 图像与系数的关系
二次函数的一般形式写作y=ax+bx+c(a≠0),其中,a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的图像是对称轴平行于y轴的一条抛物线.它的开口方向与系数a有关.当a > 0时,抛物线开口向上;a < 0时,抛物线开口向下.且当a越大时,抛物线的开口越大,反之越小.
系数b和a共同决定着抛物线的对称轴(x=-).
当a、b同号时,对称轴在y轴的左侧;当a、b异号时,对称轴在y轴的右侧.特别的,当b=0时,抛物线的对称轴即为y轴.
当a > 0时,对称轴左侧(x-时),y随x的增大而增大.
当a < 0时,对称轴左侧(x-时),y随x的增大而减小.
系数c的正负决定着抛物线与y轴的交点.当c是正数时,抛物线与y轴交于正半轴;当c是负数时,抛物线与y轴交于负半轴.当c是0时,抛物线与y轴交于原点.
a、b、c三个系数共同决定了抛物线的顶点、最值以及与x轴的交点个数.一般形式的二次函数的图像顶点可写作(-,).当a > 0时,抛物线有最低点,二次函数有最小值.当x=-时,?摇y=?摇;反之,当a < 0时,抛物线有最高点,二次函数有最大值.当x=-时, y=.
二次函数与x轴的交点,即为一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的解(相同的解算作一个).因此,我们有:当b-4ac>0时,与x轴有两个交点;当b-4ac=0时,与x轴有一个交点;当b-4ac
三、 一次函数、反比例函数图像与系数的关系
1. 一次函数的图像与系数的关系
一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).特别的,当b=0,即y=kx时,称为正比例函数.
一次函数的图像是一条直线.
k的正负决定着直线的倾斜方向.当k > 0时,直线向右上方倾斜;当k < 0时,直线向右下方倾斜.
b的正负决定着直线与y轴的交点.当b>0时,直线与y轴交于正半轴;当b < 0时,直线与y轴交于负半轴.当b=0时,直线与y轴交于原点.
k和b共同决定着直线与x轴的交点,交点坐标为(-,0).
2. 反比例函数的图像与系数的关系
反比例函数的一般形式是 y=(k≠0).
当k > 0时,反比例函数图像在一、三像限;当k < 0时,反比例函数图像在二、四像限.
四、 例题
利用以上三种函数的系数与图像的关系,我们可以来解决一些图形问题.
例1如图,在同一坐标系中,二次函数y=ax+c与一次函数y=ax+c的图像大致是()
分析首先考虑系数a.
当a > 0时,二次函数开口向上,一次函数向右上方倾斜.反之,当a < 0时,二次函数开口向下,一次函数向右下方倾斜.所以可以排除A、B.
其次考虑系数c.
我们知道系数c决定的是图像与y轴交点的位置.当c>0时,二次函数与一次函数与y轴均相交于正半轴.反之,当c
例2已知y=ax+bx的图像如下图所示,则y=ax-b的图像一定过()
A. 第一、二、三像限
B. 第一、二、四像限
C. 第二、三、四像限
D. 第一、三、四像限
分析由二次函数的图像可得到如下性质:
1. 开口向下,所以a < 0;
2. 与y轴相交于负半轴,所以c < 0;
3. 对称轴在y轴右方,所以由“左同右异”知,b>0;
在一次函数中,一次项系数和常数分别为a和-b(特别要注意常数项的正负),所以由a0,即b
例3函数y=ax-a与y=在同一直角坐标系中的图像可能是()
分析在二次函数y=ax-a中, 二次项系数a决定着图像的开口方向.如果a>0,则二次函数开口向上;反之,a0时,图像在一、三像限;当a
综上所述,如果a>0,则二次函数y=ax-a的图像开口向上,与y轴相交于负半轴,反比例函数y=的图像在一、三像限.如果a
因此,此题应选择A.
例4已知反比例函数y=的图像如右图所示,则二次函数y=2kx-x+k的图像大致为()
分析由反比例函数的图像可得到:k
所以二次函数中,二次项系数2k
对称轴为x=-=
例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图所示,则下列5个代数式:ab,ac,a-b+c,b2-4ac,2a+b中,值大于0的个数有()
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因为抛物线开口向上,所以a>0.
因为对称轴在y轴左侧,所以a,b同号.又a>0,故b>0.
因为抛物线与y轴相交与负半轴,所以c
因此ab>0,ac
取x=-1代入函数,则有y=a-b+c
因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0.
因为对称轴x=-=-1,故有b=2a>0,所以2a+b>0.
综上所述,选择C
五、 结语
二次函数是初中数学学习的重要部分,同时也是难点所在.虽然说题目的内容是千姿百态,变化多端的,但万变不离其宗,函数总是与它的系数密切相关.在本文中,我们总结了二次函数的三个系数a、b、c的各种性质,分析了它们与函数图像的关系,为同学们学习和复次函数的相关知识打下了坚实的基础.