三次函数图象性质的研究和应用举例
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〔中图分类号〕 G6３3.６
〔文献标识码〕 Ｃ
〔文章编号〕 1004—0463（2012）１２—0083—０2
三次函数的有关问题在近些年的高考中频繁出现，甚至出现在压轴题中，但教材只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅显的探索.为此，本文试图用初等数学方法较为系统地研究它的图象、性质.
一、三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象性质
1．定义域为R
2．值域为R
3．单调性
因为，f′（x）＝３ax２+2bx+c，所以?驻=4b2-12ac=4（b2-3ac），于是：
（1）当a＞0时，
①当b2-3ac＞0时，方程f′（x）=0有两个不等的实根x1，x2（不妨设x1＜x2），则f′（x）=3ac2+2bx+c的图象如下图1所示，三次函数y=f（x）的图象如图2所示：
■
不难得到：y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是增函数，在[x1，x2]上是减函数.
②当b2-3ac=0时，方程f′（x）=0有两个相等的实根，f′（x）=3ax2+2bx+c的图象如图3所示，三次函数y=f（x）的图象如图4所示：
■
可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函数.
③b2-3ac＜0时，方程f′（x）=0没有实根，且f′（x）＞0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函数.
（2）当a＜0时
①当b2-3ac＞0时，方程f′（x）=0有两个不等的实根x1，x2（不妨设x1＜x2），则f′（x）=3ax2+2bx+c的图象如下图5所示，三次函数y=f（x）的图象如图6所示：
■
不难得到：y=ax3+bx2+cx+d在[x1，x2]上是增函数，在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是减函数.
②当b2-3ac=0时，方程f′（x）=0有两个相等的实根，f′（x）=3ax2+2bx+c的图象如图7所示，三次函数y=f（x）的图象如图8所示：
■
可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是减函数.
③b2-3ac＜0时，方程f′（x）=0没有实根，且f′（x）＜0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是减函数.
4．三次方程的实根
（1）当b2-3ac＞0时，方程f′（x）=0有两个不等实根x1，x2，结合前面性质3易知：
①当f（x１）·f（x２）＞0时，方程f（x）=0有1个实根；②当f（x１）·f（x２）=0时，方程f（x）=0有2个实根；③当f（x１）·f（x２）＜0时，方程f（x）=0有3个实根.
（2）当b2-3ac≤0时，函数y=f（x）在（-∞, +∞）上是单调函数，方程f（x）=0有1个实根.
5．奇偶性
（1）假设f（x）为偶函数?圳f（－x）＝f（x）恒成立?圯2ax3+2cx=0恒成立?圯a=c=0，而a≠0，所以f（x）不可能是偶函数.
（2）假设f（x）为奇函数?圳f（－x）＝-f（x）恒成立?圯2b2+2d=0恒成立?圯b=d=0，所以b=d=0时，f（x）是奇函数，此时f（x）=ax3+cx.
6．图象的对称性
将y=ax3+bx2+cx+d变形为：y=a（x+■）3＋（c-■）（x+■）＋■，而y=ax3+（c-■）x是奇函数，图象关于原点中心对称，所以函数y=f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心是（－■，■）.
二、三次函数的图象和性质的应用
例1 已知函数f（x）＝■x3-（4m-1）x2+（１５m2-2m-7）x+3在实数集R上是增函数，求实数m的取值范围.
解：三次函数f（x）在R上是增函数，
b2-3ac≤0 , 即［-（４m-1）］2-3×■×（１５m2-2m-7）≤0，得2≤m≤4.
例2 设函数f（x）＝x3-（m+1）x2+mx（m＞1)，x１，x２是f（x）的两个不同的极值点，若不等式f（x１）＋f（x２）≤0成立，求实数m的取值范围.
解：f（x）=x3-（m+1）x2+mx，又f（x1）+f（x2）≤0，即极大值和极小值之和小于等于0，所以中心对称点在x轴上或x轴下方，故
■=■≤0，即2m2-5m+2≥0，
解得m≥2或m≤■ (舍去) ，所以m的取值范围为m≥2.