自然界的密码:斐波那契数列

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斐波那契在其1202年出版的《计算之书》里提出了如下问题:“假如第一个月有一对刚诞生的兔子,第二个月之后它们可以生育,每月每对可生育的兔子会生下一对兔子,兔子永不死去。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子?”如果时间不限于一年,那么每个月末的兔子总对数将形成如下数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……

这就是著名的斐波那契数列,它有这样的特点:从第3项开始,每一项都是其前两项之和,数列的通项公式为:un=n-n。很有趣吧?一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。

斐波那契提出这个兔子问题时一定不会想到,它所产生的数列竟然在自然界中随处可见。

很多植物的花、叶中包含着斐波那契数列。向日葵种子盘上的方向相反的两簇螺线的数目是斐波那契数列中的两个相邻项――通常为逆时针方向21条,顺时针方向34条;或逆时针方向34条,顺时针方向55条。更大的向日葵的螺线数可达到89和144,甚至144和233。

雏蕊的排列也是如此,大部分雏蕊的逆时针方向和顺时针方向的螺线数分别是21和34;松果和菠萝的鳞片也有类似的规律:前者的两簇螺线数目分别是5和8,后者的螺线数目分别是8和13,都是斐波那契数列的相邻两项!

再来观察一下树木,我们将会发现很多树从根部往上的分枝情况恰恰符合斐波那契数列的模式(见左图)。

让我们把目光转向动物界。我们知道,雄蜂都是由未受精的卵孵化而来的,而受精卵只能孵化出雌蜂――蜂王或工蜂。根据这一事实,我们可以绘出雄蜂的谱系,结果从第一代开始,各代雄蜂、雌蜂以及蜂群总数分别构成了斐波那契数列。

这样的例子不胜枚举。由于斐波那契数列的特殊性,人们于20世纪60年代成立了斐波那契学会。美国人还于1963年创办了《斐波那契季刊》,专门发表那些与斐波那契数列相关的研究成果。

魔术师的地毯 上期杂志中我们向大家介绍了一个数学谜题――失踪的正方形，敏感的同学一定注意到了，这个谜题跟教材必修2中第90页的选读材料“魔术师的地毯”有着异曲同工之妙。 魔术师将一块边长为1.3米的正方形地毯沿着如图（1）所示的粗线剪开，然后拼接成如图（2）所示的长2.1米、宽0.8米的矩形。很显然，拼接前后的地毯面积相差0.01平方米。 当然现在我们已经知道了，是斜率在“搞鬼”。图（2）的拼接处有部分地毯重叠在一起，损失了面积。但如果我们更进一步，从数量的角度分析各条边长：8，13，21，有什么感想吗？它们刚好是斐波那契数列的相邻三项！由斐波那契数列的通项公式我们可以得到如下性质：-un-1・un+1=（-1）n+1。在上述拼接问题中，为正方形的面积，而un-1・un+1为矩形的面积，由上述公式得到的计算结果1（dm2）正好符合“魔术师的地毯”的情况！ 四马问题 如右图所示，棋盘上有4只马，能不能将棋盘分成形状相同的4个部分，使得每个部分都有一只马？