让学生由三次函数图象“之美”感悟到学习“之乐”

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我在上关于《极大值与极小值》的新课时，讲解课本例2求y=13x3-4x+13的极值时是运用求函数极值的方法讲得很透，由于时间不够该例题的图象没有讲.在学习后的关于三次函数的练习中以及考试中发现许多学生掌握得不好，通过和学生进行交流知道几乎没有学生对该例题的图象进行过关注.在高三数学教学中发现许多关于导数的例题和习题若借助该例题的图象去讲、去分析会让学生掌握得更容易.于是我决定在第二轮复习中运用一节课的时间师生一起研讨三次函数的图象以及由图象得到三次函数的性质.

一、案例描述

师:把苏教版1―1翻到第78页.

看函数y=13x3-4x+13的图象，由图能想到什么？

生1：该三次函数的图象以卧“S”的造型跌宕起伏，阿娜多姿，

给人以“一波三折”的阴柔之美.该函数三次项系数为正且其导函数对应的一元二次方程Δ>0.若函数f(x)的三次项系数为正且当Δ≤0时函数没有极值点，f(x)在R上单调递增其图象以“挺拔”的姿势扶摇直上，简单明了，给人以“一飞冲天”的阳刚之美.

生2：生1把三次项系数为正的三次函数的图象总结得很好，我们可由下面3个图象：Δ≤0时函数没有极值点或极大值小于0或极小值大于0时知道图象与x轴只有一个交点.

由下面2个图象：极小值等于0或极大值等于0时知道函数的图象与x轴有两个交点.

课本例2是极大值大于0且极小值小于0时函数的图象与 轴有三个交点.由三次函数图象的几种情况我们可以解决三次方程解的个数问题.

师：生1看到了函数的两种图象之美，生2运用函数与方程之间的关系总结出三次方程的根的个数，两个学生都很棒.请同学们完成：若函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.

从学生的解答过程中发现全班学生的解法基本上是一样的，求导得到二次函数并求出二次方程的根、把两个根代入原函数求出两个极值、极大值小于0或极小值大于0得到实数a的取值范围.我把正确答案写在黑板上时学生的脸上露出了笑容.

生3：该题等价于函数f(x)=x3-x2-x+a只有一个零点，求实数a的取值范围.若把该题变为函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴有两个交点或三个交点我们应该都可以解决.

师：三次函数的图象之“美”让大部分学生对函数、方程、不等式的关系的深入理解达到了更高境界.下面请同学们说说下面这道题如何做？

已知函数f(x)=x3-3x，若过点M（2,m)(m≠2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.（南京市2010届高三上学期期末考试第19题改编）

我在讲解的过程中发现一部分学生能较轻松地听懂，一部分学生刚看到此题紧皱眉头，慢慢地听我一边展示图象一边讲解，猛然间脸上露出了基本懂了的微笑，我正准备请学生把该题如何运用由“形”转化到“数”的过程讲述一遍时，下课的铃声正好响了.

在上完该课后，我发现只要与三次函数相关的题目或者求导后导数等于零的方程有两个不等根的题目，大部分学生养成先做三次函数的草图，再由图象找到解决问题的方法.

二、案例启示

1.由三次函数的图象之美，让学生挖掘出三次函数的本质

从心理原则看，教学应该站在学生的立场，只有顺应学生的心里发展，才能满足他们的真实感，学生不发生任何真实感的素材，是没有教育价值的.课堂学习应是在学生体验下的归纳提升，神来之物的技巧解法，只能给人以机械模仿，而没有心灵思维碰撞的感悟，只会是似懂非懂.通过运用“数形结合”的方法，由图象之美不但调动了学生的学习兴趣，而且让学生真正参与到课堂

教学中，进一步领悟了华罗庚写的“数缺形时少知觉，形少数时难入微”.

2.由三次函数的图象之美，让学生领悟到做教学主人的快乐

这节课学生参与到了知识的发生、发展与形成过程，在这一过程中学生积极思考、交流合作、经历了由直观到抽象的思维过程，实现了对知识的“再创造”，实现了数学知识的意义建构.同时在这一过程中，也品尝到了学习数学带来的成就感，通过师生、生生的交流与沟通，也增进了师生的情感.

3.由三次函数的图象之美，让我重新认识自己的学生

原来一直困扰我的难题―“懂而不会”现象通过这节课的教学我猛然领悟到了教师方面存在的问题是：教师在授课中关注正确教学方法的运用，把学生要掌握的知识，想最佳办法各个击破达到学生“会用数学”的目的.这节课学生在学习问答过程出现了一些亮点，这些亮点是学生学习的顿悟，灵感的萌发，瞬间的创造.教师捕捉到学生回答问题的亮点并经过提炼，引导作为新的学习材料和转化为新的教学资源，就能有效地启迪其他学生主动探究、积极思考、迸发出智慧的火花，课堂就会产生一种理想的甚至意想不到的境界.