既有绝对值又有字母的函数的最值的求法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇既有绝对值又有字母的函数的最值的求法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

一般的,在一个函数里,如果只含有绝对值,那么在求最值时,只要把绝对值符号去掉,写成分段函数的形式,然后在每一段上分别求最值,再把这些最值进行比较,如果是求最小值,则其中最小的即为所求;如果是求最大值,则最大的即为所求。在一个函数里如果含有一个参数,而没有绝对值,只要对字母进行分类讨论,对每一种情况分别求最小值,再总结给出答案即可。

那么当一个函数里既有绝对值,又有字母时,如何求最值呢?我们先看下面的例题。

例1.设a为实数,函数f(x)=2x+(x-a)|x-a|。

(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;

(2)求f(x)的最小值;

(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集。

解析:(1)解答略。

(2)()当x≥a时,即在x∈[a,+∞)上,f(x)=3x-2ax+a,

f(x)是对称轴为x=且开口向上的抛物线,所以有以下两种情况:

①a≥0,这时f(x)在[a,+∞)上递增,当x=a的时候取得最小值,所以f(x)的最小值为f(a)=2a

②a

所以f(x)的最小值为f()=

所以在(a,+∞)上,f(x)=f(a) a≥0f() a

()当x

①a≥0,则-a≤0,f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,a)上递增,当x=-a的时候取得最小值,所以f(x)的最小值为f(-a)=-2a。

②a0,f(x)在(-∞,a)上递减,当x=a的时取得最小值,所以f(x)的最小值为f(a)=2a。

所以在(-∞,a)上,f(x)=f(-a) a≥0f(a) a

综上:()当a≥0的时候f(x)在(-∞,a)的最小值为-2a,在[a,+∞)上的最小值为2a,而-2a≤2a,所以a≥0的时候,f(x)的最小值为-2a;

()当a

f(x)=-2a a≥0 a

(3)解答略。

例2.设a>0,函数f(x)=x+a|lnx-1|。

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;

(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值。

解析:(1)解答略。

(2)①当x≥e时,f(x)=x+alnx-a,f′(x)=2x+(x≥e)。

f(x)>0恒成立。f(x)在[e,+∞)上增函数。故当x=e时,y=f(e)=e。

②当1≤x

(i)当≤1,即0

(ii)当1

故当x=时,y=-ln,且此时f()

(iii)当≥e;即a≥2e时,f′(x)在x∈(1,e)时为负数,所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,故当x=e时,y=f(e)=e。

综述:①当a≥2e时,f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e,所以此时f(x)的最小值为f(e)=e;

当2

f(x)的最小值为f()=-ln

②当0

而f(1)

所以y=f(x)的最小值为y=1+a02e

评注:既含有绝对值又含有字母函数求最小(大)值的一般步骤是:

(1)先把绝对值符号去掉,写成分段函数的形式,在每一段上求最小(大)值;

(2)用上面只含有字母的函数求最小值的方法,对字母进行分类,求每种情况下的最小值;

(3)最后按字母的分类,对每一种情况的最小(或最大)值进行比较,取其中的最小(或最大)值,并进行综合表述,用比较简单的形式表示即可。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文