顺其自然步步登高
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高考数学试卷中一般有两道压轴题,也是比较难的两道题,它起着增加整个试卷的区分度的作用,所以对不同的同学来说应有不同的解答策略.本文结合压轴题命制特点和2009年山东卷第22题详细阐述对压轴题的解答策略,希望对同学们解答压轴题有一定的启发作用,在今年的高考中得到理想的分数.
下面是2009年高考山东卷理科数学第22题,本题满分14分.
题目:设椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a,b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
命题特点:本题从内容与方法上看考查的是用待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、圆的切线方程、向量运算;从能力上看考查的是解析几何的基本思想和分析问题解决问题的能力;特别是运算方向选择与具体的字母运算能力.从解答要求来看符合压轴题的特点:入手容易,深入推进难.具体来说,第(1)问和第(2)问的开始部分只要顺其自然,把条件椭圆过两点翻译成数学式子,经过简单运算即可得到第(1)问的满分.第(2)问中条件是否存在圆心在原点的圆,可设存在并写出圆的方程,把OAOB转化成x1x2+y1y2=0便可得分,不需要过多的思考和运算.但确定是否存在需要前后联系、运算准确、考虑全面才能解答下去,需要一定的数学功底.最后一问求|AB|的取值范围是压轴题也是整个试卷的“翘尾巴”部分,是为数学功底深厚的同学准备的,在思维上很难突破,但突破后可步步登高得到满分。总之,压轴题的命制符合“三段论”:入手易,过程陡,出口难.所以对待压轴题的解答策略应是因人而异,适可而止.具体可采用以下三个策略.
对第(1)问的解答是把条件顺其自然的转化,难度比填空题的要小,这部分分数对每位同学来说都不可错过,机不可失,时不再来.
因为椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a,b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,
所以
4a2+2b2=1,
6a2+1b2=1,
解得1a2=18,
1b2=14.
所以a2=8,
b2=4.
所以椭圆E的方程为x28+y24=1.
第(2)问的条件顺其自然进行转化,假设满足条件的圆存在,写出圆的方程,对条件OAOB可转化为x1x2+y1y2=0.
以上的解答仅仅对条件进行了明确化,并不需要多少思考和运算,但能得2分,每年的压轴题都是如此,切记不可放弃.后面的解答题需要明确方向,还有复杂的字母运算,中等程度的同学可以探索.
确定解题方向,深入分析条件、结论及他们的联系.条件是切线AB和椭圆相交,由解析几何的基本思想知“形”定“数”,结论是r是否存在,需要关于r的等式,联系条件AB是圆的切线即可得.具体如下:
假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OAOB,设该圆的切线方程为y=kx+m(假设其斜率存在),代人椭圆E的方程,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则
=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0, 即8k2-m2+4>0,
x1+x2=-4km1+2k2,
x1x2=2m2-81+2k2.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=…=m2-8k21+2k2.
要使OAOB,需使x1x2+y1y2=0,即2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0,
所以3m2-8k2-8=0,所以k2=3m2-88≥0.
又8k2-m2+4>0,所以
m2>2,
3m2≥8.
所以m2≥83,即m≥263或m≤-263.
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r=|m|1+k2,r2=m21+k2=m21+3m2-88=83,r=263,所求的圆为x2+y2=83,此时圆的切线y=kx+m都满足m≥263或m≤-263.
而当切线的斜率不存在时切线为x=±263与椭圆x28+y24=1的两个交点为(263,±263)或(-263,±263)满足OAOB.
综上, 存在圆心在原点的圆x2+y2=83,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OAOB.
至此大部分分数已经得到,解答过程中思路确定有一定难度,运算过程中也有一些技巧,多字母运算对心理也产生一些压力,所以说“过程陡”,对中等程度的同学来说,可以试探解答,但不要纠缠过多时间,适时撤退,可验算其他题目.对“翘尾巴”部分可采用以下策略.
压轴题最后部分占4~6分,是整个试卷最难的部分,难在不知从何处入手或解题方向不明或证明、运算巧或繁琐,且解答过程中要不断探究方向,得满分需要坚实的数学功底.所以中等程度的同学在短时间内找不到解题方向的,要学会“舍得”,留出时间检查前面的题.
想完成解答,首先要突破障碍.要求|AB|的取值范围,需要|AB|的目标函数,而AB是椭圆E的弦,考虑到前面的
x1+x2=-4km1+2k2,
x1x2=2m2-81+2k2.
所以确定用弦长公式.
因为
x1+x2=-4km1+2k2,
x1x2=2m2-81+2k2.
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=8(8k2-m2+4)(1+2k2)2,
|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)8(8k2-m2+4)(1+2k2)2
=323•4k4+5k2+14k4+4k2+1=323[1+k24k4+4k2+1].
①当k≠0时,|AB|=323[1+14k2+1k2+4].
因为4k2+1k2+4≥8,所以0
所以323
所以436
②当k=0时,|AB|=463.
③当AB的斜率不存在时, 两个交点为(263,±263)或(-263,±263),
所以此时|AB|=463.
综上, |AB|的取值范围为436≤|AB|≤23,即|AB|∈[436,23].
障碍突破还有其他思路方法,请同学们自己去探究,不同的思路其技巧难度和运算量不同,选择好的方法很重要.祝同学们在今年的高考中成功解答出压轴题.