解不等式中的简化分类

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解某些不等式时，若按常规思路分类讨论求解，则运算量大，过程冗长，还容易出错. 若能够充分挖掘问题潜在的特殊性，灵活地采用相应的解题策略，则可简化或避免分类讨论.

一、巧用定义域

不等式中代数式有意义的未知数的取值范围，不妨称其为代数式的“定义域”.显然，不等式的解集是其定义域的子集.解题中，若能注意“定义域”，则可简化分类，迅速求解.

例1 设[a][x+a].

解析 注意到不等式的“定义域”，有[a2-2x20]，即：[x2a22].

而[a

此时，[x+aa-22a=2-22a

所以不等式恒成立，其解集为[22a，-22a].

二、关注隐含条件

注意挖掘不等式成立的隐含条件，简化不等式的变形过程，避免复杂的分类讨论.

例2 若[m

解析 原不等式可化为[（1-m）x+1x2+1]，

若注意到[x2+1][][1]，

则有[（1-m）x+1][][1]，即[（1-m）x][]0.

由于[m

于是原不等式可化为[x0，1-mx+12x2+1.]

即[x0，（m2-2m）x2（m-1）.]

所以，

[0

[m

三、数形结合

不等式变形后，将不等号两边分别看成两个函数，分析函数图象的相对位置关系，可简化解题过程.

例3 [a>0]且[a]为常数，解不等式[x2+1-ax][

解析 原不等式可化为[x2+1

令[y=f1（x）=x2+1]的图象为[C1]，

[y=f2（x）=ax+1]的图象为[C2].

当[0

[x1=0]， [x2=2a1-a2].

又[f1（x）]与[f2（x）]图象如下：

由[y=x2+1]得[y2-x2=1][（y0）]，所以[C1]是等轴双曲线的上半支；[C2]是过点（0，1），斜率为[a]的直线系.

当[a]≥1时，

由图1可知，不等式的解集为（0，+[∞]）.

当[0

由图2可知，不等式的解集为（0，[2a1-a2]）.

四、正难则反

从反面求解，转化为去求不等式的补集，可起到事半功倍的效果.

例4 解关于[x]的不等式[aa-x>a-2x][a

分析 注意到原不等式与不等式[aa-x][a-2xa

解 [aa-xa-2xa

即得：[a-2x0，aa-x0，aa-xa-2x2.]

解之得，[ax34a].

在全集[I=xaa-x0，a

即得原不等式的解集为：[xx>34a，a

五、等价变形

对于有些不等式，若直接求解会比较复杂，若通过等价变形，化为另一种形式求解，可以减少运算过程，顺利求解.

例5 解关于[x]的不等式[0

分析 若按常规解法，需计算两个分式不等式，且要讨论参数[a]，运算太复杂.若利用分式的性质：[00）]进行等价变形，可得最佳运算途径，简化分类讨论的过程.

解 原不等式等价于[1+2axx2-2x+2>1]，因为[x2-2x+2][>0]，所以有[1+2ax][>][x2-2x+2]，即[x2-2（a+1）x+1][

（1）当[Δ=4（a+1）2-40]，

即[-2

（2）当[Δ=4（a+1）2-4>0]，

即[a0]时，原不等式的解集为

[a+1-a2+2a，a+1+a2+2a].