小船渡河模型的探究

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小船在有一定水流流速的河中渡河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是这两个运动的合运动. 设小河的宽度为d，小船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船头与河岸上游的夹角为θ，如图1所示. 根据运动的分解和合成有：

分运动的速度为vx=v2－v1cosθ，vy=v1sinθ.

分运动的位移为x=（v2－v1cosθ）t，y=v1sinθ・t.

■ 模型一 怎样渡河时间最短

小船在垂直河岸方向的分运动的位移y=d，再根据y=v1sinθ・t，解得渡河所需时间为t=■，可以看出：在d、v1一定时，t随sinθ的增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为：tmin=■.

■ 例1 小船在静水中的速度v1=4 m/s，水流速度v2=3 m/s，河宽d=100 m.

（1） 要使小船过河时间最短，船速方向如何？小船的实际运动方向如何？

（2） 过河的最短时间为多大？这时船到达正对岸的地点在何处？

■ 解析 （1） 要使小船过河时间最短，船头垂直河岸航行，即船速方向正对河岸. 设此时小船实际运动方向与河岸下游的夹角为α，则tan α=■=■，故α=53°.

（2） 最短时间tmin=■=■ s=25 s，此时x=v2t=3×25 m=75 m，即小船到达正对岸下游75 m处.

■ 模型二 怎样渡河位移最短

设小船渡河的实际位移为s，由运动的合成可知s=■，而y方向的位移为定值d，则当x=0时，smin=d，此时vx=v2－v1cosθ=0，因为0≤cosθ≤1，故必须有v1>v2，此结论才能成立. 若v1=v2，则θ=0，此时船静止，不合题意. 若v10，小船实际速度不会垂直于河岸. 下面分两种情况来探究：

1. 若v1>v2，小船渡河最小位移为河宽d，小船的合速度方向与河岸垂直，如图2甲所示. 则有

x=（v2－v1cosθ）t=0

解得cosθ=■，

所以当θ=arccos ■时，smin=d.

2. 若v1

■ 例2 河宽60 m，水流速度v1=6 m/s，小船在静水中速度v2=3 m/s，则：

（1） 它渡河的最短时间是多少？

（2） 最短航程是多少？

■ 解析 （1） 以水流速度方向为x轴正方向，以垂直河岸方向为y轴正方向. 以船开出点为坐标原点建立坐标系，设船与岸成?兹角开出（如图3所示）将v2沿x、y方向分解，则

v2x=v2cos ?兹，v2y=v2sin ?兹

过河时间t=■.

当?兹=90°时，过河的时间最短，

tmin=■=■s=20 s.

（2） 先作出OA表示水流速度v1，然后以A为圆心，以船对水的速度v2的大小为半径作圆，过D作圆的切线OB与圆相切于B，连接AB，过O作AB平行线，过B作OA的平行线，两平行线相交于C，则OC为船对水的速度v2，（如图4所示）所示. 由图不难看出，船沿OBD行驶到对岸位移最短，设v2与河岸的夹角为?琢，则有cos ?琢=■=■=0.5，所以?琢=60°.

Smin=■=120 m.

■ 模型三 怎样渡河速度最小

在小船渡河的出发点和目的地均确定的情况下，如何确定最小船速呢？如图5所示，小船的合速度v方向（沿OP方向）已经确定，即α确定，水流的速度v2大小和方向是确定的，则当v1的方向与v的方向垂直时，v1的值最小. 这时v1与上游河岸的夹角θ=arccos■，小船渡河的最小速度为v1=v2sinα.

■ 例3 有一小船正在横渡一条宽为30 m的河流，在正对岸下游40 m处有一危险水域，假如水流速度为5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船相对于静水的最小速度是多少？

■ 解析 根据题意，船实际航行方向至少满足与河岸成夹角α，则tanα=■，所以α=37°，如图5所示，则根据速度的矢量合成，船能保证沿虚线移动，而不进入危险区，又满足速度值最小. 因此v1=v2・sin 37°=3 m/s.