数列考点 第2期

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随着函数与导数内容的结合，一般的问题都是先从求导开始，而求导又有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的尺度，所以函数问题的解题思路比较规范，方向比较明确，难度也有所下降，从某种意义上讲考查演绎推理能力的任务正在由数列问题分担。近几年江苏的数列问题都是等差、等比数列的性质及有关整数的性质。今年将继续保持这一风格，仍然考查等差数列与等比数列的性质，且可能将它作为压轴题来考，这样对数列的性质可能有进一步的考查。

考点1 等差、等比数列的综合应用

【例1】 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn是14与(an+1)2的等比中项.

（1） 求证：数列{an}是等差数列；

（2） 若bn= an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

分析 (1) 证明数列{an}是等差数列，应按定义从第二项开始每一项与前一项之差为常数，所以利用Sn与an之间关系的，将Sn与an关系式化为an与an-1的关系式，即计算an-an-1的值。

（2） 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积之和常用错项相消法。

解 （1） 证明：由题知Sn=14(an+1)2,

当n=1时，a1=14(a1+1)2,a1=1,

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2，(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an>0， an-an-1-2=0.即当n≥2时，an-an-1=2，数列{an}是等差数列.

（2） 由（1）知数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，an=1+(n-1)•2=2n-1.

bn=an2n= 2n-12n，则Tn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n,①

12Tn= 122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1,②

由①-②得

12Tn=12+2122+123+…+12n-2n-12n+1

=12+2•141-12n-11-12-2n-12n+1

=12+1-12n-1-2n-12n+1,

Tn=3-2n+32n.

点拨

（1） 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点。

(2） 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解。

考点2 数列中的最值问题

【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.

（1） 证明：{an-1}是等比数列；

（2） 求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由.

分析 由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn，建立an与an-1的关系。

解 (1) Sn=n-5an-85，当n=1时，S1=1-5a1-85， 即a1=1-5a1-85，解得a1=-14；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-［(n-1)-5an-1-85］=-5an+5an-1+1，整理得6an=5an-1+1，6(an-1)=5(an-1-1)， an-1an-1-1=56，又a1-1=-15，数列{an-1}是以-15为首项，56为公比的等比数列.

（2） 由(1)知，an-1=-15×56n-1，an=-15×56n-1+1，代入Sn=n-5an-85，得：

Sn=n-5(-15)×56n-1+1-85=n+75×56n-1-90.

设Sk为最小值，则Sk≤Sk-1，Sk≤Sk+1，

即ak≤0，ak+1≥0，

-1556k-1+1≤0，

-1556k+1≥0，

56k≤115,56k-1≥115.

k-1≤log56115，

k≥log56115，

即log56115≤k≤log56115+1，

又log56115=lg115lg56=-(lg3-lg2+1)1-2lg2-lg3，

lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1, log56115≈14.9.

14.9≤k≤15.9. 又k∈N*，k=15.

即当n=15时，Sn取得最小值.

点拨

在数列中，若Sn与an关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法。

考点3 新定义下的数列问题

【例3】 给出下面的数表序列：

表1 表2 表3 …

1

1 3 4

1 3 54 8 12

其中表n(n=1,2,3,…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

（1） 写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)；

（2） 每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,…,记此数列为{bn}.求和:

b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1(n∈N*).

分析 由表1～表3行间关系，易得表4；由题意归纳数列{bn}，并求所给的和。

解 (1) 表4为

1 3 5 7

4 8 12

12 20

32

它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成

首项为n,公比为2的等比数列.

简证如下:(对考生不作要求)

首先,表n(n≥3)的第1行1，3，5，…,2n-1是等差数列，其平均数为

1+3+…+(2n-1)n=n；其次，若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1,a2,…，an-k+1是等差数列，则它的第k+1行a1+a2，a2+a3,…,an-k+an-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a1+an-k+12,a1+a2+an-k+an-k+12=

a1+an-k+1.

由此可知，表n(n≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.

同类相从，同声相应，固天理也。――（战国）庄周

（2） 表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是1+3+5+…+(2n-1)n=n(n∈N*).

由（1）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是

n•2k-1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1(n∈N*).

因此bk+2bkbk+1=(k+2)2k+1k•2k-1(k+1)•2k=

k+2k(k+1)•2k-2=2(k+1)-kk(k+1)•2k-2=1k•2k-3-1(k+1)•2k-2.(k=1,2,3,…,n)

故 b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1=11×2-2-12×2-1+12×2-1-13×20+…+1n×2n-3-1(n+1)×2n-2

=11×2-2-1(n+1)×2n-2=4-1(n+1)×2n-2

点拨

本题以数表序列为载体，考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、数列的求和（裂项求和）等基础知识。通过第（1）问的类比推理，很好地考查了推理论证能力。通过第(2)问对新数列的分析和归纳，综合考查了同学们的归纳推理能力、运算求解能力，考查大家是否具有审慎的思维习惯和一定的数学素养。

考点4 数列在实际问题中的应用

【例4】 假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底.

（1） 该市历年所建中低价房的累计面（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？

（2） 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不小于85%（参考数据：1.084≈1.36，1.085≈1.47 ）.

分析 （1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n≥4 750.

（2） an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.

解 （1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则an=250+（n-1）•50=50n+200，Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,

令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数，n≥10.到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.

（2） 设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08,则

bn=400•（1.08）n-1.由题意可知an＞0.85bn，即50n+200＞400•（1.08）n-1•0.85.

当n=5时，a5＜0.85b5，

当n=6时，a6＞0.85b6,

满足上述不等式的最小正整数n为6.

到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

点拨

解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现。

牛刀小试

1． 已知等差数列{an}的前11项和S11=66，则第6项a6= ．

2． 在7和56之间分别插入实数a、b与c、d，使7、a、b、56成等差数列，且使7、c、d、56成等比数列，则a＋b＋c＋d＝ ．

3． 数列{an}的通项an=n2cos2nπ3-sin2nπ3，其前n项和为Sn，则S30= ．

4． 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .

5． 对正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列ann+1的前n项和的公式是 ．

6． 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令bn=lna3n+1(n=1,2,…)，求数列{bn}的前n项和Tn．

7． 已知An(an，bn)（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足S2n=3n2an+S2n-1，an≠0，n=2，3，4，…．

（1） 证明：数列bn+2bn（n≥2）是常数数列；

（2） 确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是单调递增数列；

（3） 证明：当a∈M时，弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．

【参考答案】

1． 6 2． 105 3． 470 4． 5 5． 2n+1-2

6． (1) an=2n-1

（2） 由于

bn=lna3n+1，n=1,2，…，由（1）得a3n+1=23n，bn=ln23n，

bn=ln23n=3nln2.

又bn+1-bn=3ln2，{bn}是等差数列，

Tn=b1+b2+…+bn

=n(b1+bn)2=n(3ln2+3nln2)2

=3n(n+1)2ln2，

故Tn=3n(n+1)2ln2.

7． （1） 当n≥2时，由已知得S2n-S2n-1=3n2an．

因为an=Sn-Sn-1≠0，所以Sn+Sn-1=3n2．①

于是Sn+1+Sn=3(n+1)2．②

由②-①得an+1+an=6n+3．③

于是an+2+an+1=6n+9．④

由④-③得an+2-an=6，⑤

所以bn+2bn=ean+2ean=ean+2-an=e6，即数列bn+2bn(n≥2)是常数数列．

（2） 由①有S2+S1=12，所以a2=12-2a．由③有a3+a2=15，a4+a3=21，所以a3=3+2a，a4=18-2a．

而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，

所以a2k=a2+6(k-1)，a2k+1=a3+6(k-1)，a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*)，

数列{an}是单调递增数列a1

a1

a1

即所求a的取值集合是

M=a94

154．

（3） 解法一：弦AnAn+1的斜率为

kn=bn+1-bnan+1-an=ean+1-eanan+1-an，

任取x0，设函数f(x)=ex-ex0x-x0，则f(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0)(x-x0)2，

记g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0)，则g′(x)=ex(x-x0)+ex-ex=ex(x-x0)，

当x>x0时，g′(x)>0，g(x)在(x0，+∞)上为增函数，

当x

所以x≠x0时，g(x)>g(x0)=0，从而f′(x)>0，所以f(x)在(-∞，x0)和(x0，+∞)上都是增函数．

由（2）知，a∈M时，数列{an}单调递增，

取x0=an，因为an

取x0=an+2，因为anean-ean+2an-an+2．

所以kn

解法二：设函数f(x)=ex-ean+1x-an+1，同解法一得，f(x)在(-∞，an+1)和(an+1，+∞)上都是增函数，

所以kn=ean-ean+1an-an+1 < limna-n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1，kn+1=ean+2-ean+1an+2-an+1>

limna+n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1．

故kn

（作者：曹瑞彬，江苏省启东中学数学特级教师）