一类累计期权的定价
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[摘 要] 累计期权是一种以合约形式买卖资产的金融衍生工具，其实质是投资者和发行商之间的一个金融合约。通过假设累计期权为合约一方没有收益上限要求和有收益上限要求两种情况以及股票价格服从几何布朗运动，然后，利用B-S模型对这两种情况下的累计期权定价，分别解出解析解和数值解,得出当合约一方有收益上限要求时，其需要支付的期权金会随着股票波动率和无风险利率的增大而减少，随着敲定价的增大，其期权金的最大值会受到收益上限的约束等结果，从而研究累计期权的风险价值。对于包含多个实施时间的累计期权定价问题，可采用蒙特卡罗方法模拟期权价格的思路。
[关键词] 累计期权；Black-Scholes模型；几何布朗运动
[中图分类号] F830.9
[文献标识码] A
The Pricing of Class-One Accumulator
REN Xuemin, WANG Yu
Abstract: Accumulator is a financial derivative tool, buying and selling assets in the form of contract, the essence of which is the financial contracts between investors and vendors. In order to study the value-at-risk of accumulators, supposing that there are two circumstances of accumulators, one with income ceiling requirements, the other not, and that share prices comply with geometric Brownian motion and then, making use of Black-Scholes model to pricing the accumulators under these two circumstances, we'll work out respectively the analytical solution and the numerical solution and learn that when one party has income ceiling requirements, the needed premium will reduce along with the stock volatility and the increase of risk-free rate and that with the increasing of strike price, the maximum of premium will be restrained by income ceiling. With regard to the pricing of accumulators which include multiple implementary times, Monte Carlo method might be adopted to imitate the pricing process of share options.
Key words: accumulator, Black-Scholes model, geometric Brownian motion
累计期权(accumulator)，是一种以合约形式买卖资产(股票、外汇或其它商品)的金融衍生工具。累计期权的实质是投资者和发行商之间的一个金融合约。发行商在合约中锁定挂钩资产的上下限，并规定在一年内以低于签约价的5%-10%每日向客户提供固定数量的股票，当股价升过3%-5%时，合约就自行终止，但当股价低于规定的行使价时，客户必须按合约的规定继续从开发商手中买入双倍甚至三倍的股票，协议一般有很高的杠杆性，投资者只要支付合约金额的40%或者用相应金额的股票作抵押就可以操作。显然，对于投资者来说，如果市场处于牛皮盘整或者上升，投资者也只可以赚取有限的收益，而一旦市价下跌，特别是大幅度下跌，投资者将会面临巨大的损失。2007年金融危机爆发以来，众多企业购买的复杂金融衍生产品发生巨额亏损，如东方航空购买的航油套期保值合约公允价值损失约为18.3亿元，国际航空所测算损失达到31亿等。可见，设计科学合理的累计期权以及对累计期权公平合理定价势在必行，可以有效的规范金融市场，减少累计期权合约定价不合理造成的风险。
本文首先假设累计期权只有两个实施时间，分别考虑合约一方没有收益上限要求和有收益上限要求两种情况。收益上限要求指合约一方一旦达到合约规定的最高收益上限，合约自动终止。然后通过假设股票价格服从几何布朗运动，利用B-S模型对这两种情况下的累计期权定价，分别解出解析解和数值解，并分析股票波动率、利率、敲定价格等因素对累计期权价格的影响，研究累计期权的风险价值。对于包含多个实施时间的累计期权定价问题，本文给出利用蒙特卡罗方法模拟期权价格的思路。
合约的本质是B方给A方一个针对标的物S，敲定价为K2，到期日为T的看涨期权，A方给B方一个敲定价为K1，标的物和到期日均相同的看跌期权，但这份合约的价值并不是这两份期权的价值之差。因为这份累计期权在到期日之前可以实施多次，下一次实施节点的股票价格分布情况依赖于前一次的股票价格，所以不能简单看成是看跌与看涨期权的价值之差。
一、数学模型
(一)基本假设
累计期权是针对一种股票St的一个合约，合约有两个实施时间t1,t2，满足t1
假设股票St服从几何布朗运动：
=dt+dWt (1)
其中：，为常数，分别表示股票的期望收益率和波动率，dWt为标准布朗运动，即：E(dWt)=0,Var(dWt)=dt。市场不存在套利机会，无风险利率为常数r>0，股票无股息，无交易费和税收。
(二)建立模型
1.对方A的收益没有上限限定
记Vt为t时刻累计期权相对于A方的价值，利用-对冲原理，构造投资组合=V-S，选取(原生资产的份数)使其在(t,t+dt)时间段内无风险，则投资组合的回报是=rdt，即：
dVt-dSt=rtdt=r(Vt-St)dt (2)
由于Vt=V(St,t)，前面假设St满足随机微分方程(1)，则由It公式可得，
(3)
把(3)代入(2)中可得：
(4)
选取以消除上式左边的随机项，代入(4)式中，并消去dt，可得[1]：
(5)
在t2时刻，(6)
同理，合约价格V在[t0,t1]时段内应满足的偏微分方程为：
(7)
在t1时刻，(8)
其中V1是由(5)(6)求得的t1时刻的合约价格。
2.A方的累计收益最大不能超过L
因为t1时刻的股价会影响[t1,t2]时段合约的收益，所以需要讨论t1时刻股价S与K1,K2的关系。
若t1时刻，A方的盈利刚好达到合约规定的最大收益L，则当t2时刻的股价满足(表示“记为”)时，合约自动终止。
若t1时刻A方的盈利未达到合约规定的最大收益L，而是在t2时刻刚好达到，则在t2时刻A方的盈利达到最大收益时的股票价格与在t1时刻的股票价格有关系。即当在t1时刻的股票价格满足时，需要t2时刻的股票价格满足，合约才会自动终止；当在t1时刻的股票价格满足时，需要t2时刻的股票价格满足，合约才会自动终止；当在t1时刻的股票价格满足时，需要t2时刻的股票价格满足，合约才会自动终止。
合约价格V在[t1,t2]时段内满足偏微分方程：
(9)
综上所述，在t2时刻的终止条件为：
当S(t1)≥H时，V1=L(10)
当K2
当K1≤S(t1)≤K1时，(12)
当S(t1)
合约价格V在[t0,t1]时段内满足偏微分方程：
(14)
在t1时刻：(15)
(三)求解
1.对A方的收益没有上限限定
对定解问题(5)(6)作变量代换，，并作函数变换，选取，，将定解问题(5)(6)转变为标准热传导方程，则可得到方程的解[2]，然后将S和t分别代回，即得到t1时刻的期权价格：
(16)
其中， ，
，
，是一维标准正态分布的累积函数。
按上述方法对定解问题(7)(8)作变量代换，则定解问题(7)(8)的解，即t0时刻的期权价格为：
(17)
其中
，是一维标准正态分布的累积函数，是二维标准正态分布的累积函数。
2.A方的累计收益最大不能超过L
采用数值方法——差分方法求解。在区域上，对t方向N等分，可得到如下差分格式：
当n=N时，V的值已知，从而由上式反向递推可得到V，以此作为区域上的差分边界条件，差分格式不变，反向递推，可得到V，即累计期权在初始时刻的价格[3]。
设，则当α≤1以及时，上述差分格式总是稳定的[1]。
通常签订合约时，即t0时刻，期权的价格应为零，此时可反解出合约中相应的敲定价K1,K2应该满足的价格范围。
二、累计期权价格V与各变量之间的关系
通过上述差分方法，应用Matlab软件计算累计期权的价格，从而分析累计期权价格V与各变量之间的关系。假设在时间方向N等分，取N=10，股票价格方向M等分，取M=250，无风险利率r=5%，股票波动率=0.1，两个敲定价分别取K1=30，K2=50，合约规定的购买股票份额分别取a=1，b=2，最大收益L=50。
(一)合约的两个敲定价格K1，K2与V的关系
图1 累计期权价格与敲定价K1的关系
图1为敲定价K1与V的关系图，敲定价K1分别取20和30。累计期权的价值大于零的部分，表示A方要支付给B方V的期权金；累计期权的价值等于零的部分，表示在t0和t1时刻合约都未实施；累计期权的价值小于零的部分，表示B方要支付给A方V的期权金。
由图1可知，当股票价格相同，敲定价格K1减小时，B方需要支付的期权金减少。因为当K1减小时，B方获取收益的机会减少，可能获取的利益就减少，所以对于B方来说，累计期权的价格下跌。
图2 累计期权价格与敲定价K2的关系
图2为敲定价K2与V的关系图，敲定价K2分别取45和65。由图2可知，当敲定价格K2增加时，A方获取收益的机会减少，可能获取的利益也就减少，所以A方需要支付的期权金减少。但由于A方的收益有上限限制，所以当敲定价K2增大时，A方需要支付的期权金的最大值会受到收益上限的约束。
(二)波动率与V的关系
图3 累计期权价格与波动率的关系
图3为波动率与V的关系图，当股票的价格S(t1)=S(t2)=60时，A方需要支付的期权金随着股票波动率的增大而减少，这与合约规定A方的累计收益有最大值限制有关。因为当股票价格大于合约敲定价K2时，波动率越大，股票价格达到合约规定的终止条件的可能性就越大，所以随着股票波动率的增大，A方需要支付的期权金减少。当股票的价格S(t1)=S(t2)=30时，B方需要支付的期权金随着股票波动率的增大而减小。因为B方的收益也有最大值限制(当股票的价格为0时，B方的收益最大)。所以随着股票价格的继续下跌，波动率越大，B方支付的期权金越少。
(三)利率r与V的关系
图4 累计期权价格与利率的关系
图4为利率r与V的关系图，因为随着无风险利率的增大，风险中性时股票的期望回报率将上升，而对于现金流，它使得未来(t=T)收到的现金K的现值(t时刻)Ke-r(T-t)下降。因此，当股票的价格S(t1)=S(t2)=20时，B方要以K1的价格卖出股票换取现金，所以B方需要支付的期权金随着无风险利率的增大而减小。当股票的价格S(t1)=S(t2)=60时，A方需要支付的期权金随着无风险利率的增大而减小。因为A方的累计收益有最大值的限制，无风险利率越大，股票价格达到合约规定的终止条件的可能性就越大，所以期权金随之减少。
(四)购买数量a和b与V的关系
图5 累计期权价格与购买数量a和b的关系
图5为购买数量a和b与V的关系图，购买数量分别取a=1，b=2和a=2，b=3。由图5可知，购买数量a越大，A方可能的收益越大，所以当股票价格增大时，累积期权的价格上升，但因A方的受益要受到合约规定的收益上限的限制，所以随着股价的继续上升，期权的价格不再变化。而购买数量b增加时，A方可能的损失会不受任何限制的增大。
由于现实生活中，累计期权的期限一般为一个月以上，并规定可以每天实施一次，所以考虑运用蒙特卡罗方法模拟累计期权的价格。
[参 考 文 献]
[1]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版,2003：74-114
[2]姜礼尚,陈亚浙,刘西垣,易法槐.数学物理方程讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2007
[3]姜礼尚,徐承龙,任学敏,李少华,等.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析[M].北京:高等教育出版社,2008